Краткое содержание: Параграф § 10 / Информатика 10 класс

Основы систем счисления

Система счисления — это определенный способ для записи (обозначения) чисел с помощью символов, которые называются цифрами. Различают два основных типа систем счисления: непозиционные и позиционные. В непозиционных системах, таких как древняя унарная (единичная) система, а также римская, численное значение цифры не зависит от ее местоположения в числе. Непозиционные системы имеют ряд существенных недостатков, включая необходимость постоянного введения новых знаков для записи больших чисел и сложности выполнения арифметических операций. В позиционных системах счисления, в отличие от непозиционных, количественный эквивалент цифры полностью определяется ее позицией (местом) в записи числа. Яркий пример позиционной системы — десятичная система.

Позиционные системы счисления

Все позиционные системы счисления обладают основанием \(q\), которое является целым числом, большим единицы (\(q > 1\)). Основание системы определяет алфавит цифр, используемых для записи чисел, который включает \(q\) цифр: от \(0, 1, 2, ..., q-1\). Примерами распространенных систем являются двоичная (\(q=2\)), троичная (\(q=3\)), восьмеричная (\(q=8\)) и шестнадцатеричная (\(q=16\)).

В системе счисления с основанием \(q\), \(q\) единиц какого-либо разряда образуют одну единицу следующего, более старшего разряда. Любое целое число \(A\) в системе счисления с основанием \(q\), записанное как \(A_q = a_n a_{n-1} \dots a_1 a_0\), может быть представлено в развернутой форме в виде суммы разрядных слагаемых:

\( A = a_n \cdot q^n + a_{n-1} \cdot q^{n-1} + \dots + a_1 \cdot q^1 + a_0 \cdot q^0 = \sum_{i=0}^{n} a_i \cdot q^i \)

Здесь \(q^i\) — весовой коэффициент разряда. Последовательность весов разрядов называется базисом позиционной системы счисления. Для дробных чисел, развернутая форма включает отрицательные степени основания:

\( A = a_n \cdot q^n + \dots + a_0 \cdot q^0 + a_{-1} \cdot q^{-1} + \dots + a_{-m} \cdot q^{-m} \)

Такой способ представления числа называется разложением по схеме Горнера.

Перевод чисел между системами счисления

Перевод числа из \(q\)-ичной системы в десятичную осуществляется через запись и вычисление его развернутой формы по правилам десятичной арифметики.

Для перевода двоичного числа в десятичную систему можно воспользоваться схемой Горнера (последовательное умножение на 2 и сложение со следующей цифрой). В наши дни наибольший практический интерес представляют двоичная, троичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.