Краткое содержание: Параграф § 1.1 / Информатика 8 класс

Системы счисления: История и Классификация

Система счисления — это определенный набор правил и знаков, используемый для записи чисел. Основные знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их полный набор формирует алфавит системы счисления. Системы счисления можно разделить по способу выбора узловых чисел и методам образования алгоритмических чисел.

Унарная система счисления (ее зачатки встречаются с древнейших времен) отображает количество объектов через повторение одного и того же знака, символизирующего единицу. Например, это могут быть зарубки, черточки или точки. Эта система является непозиционной и крайне неудобна для записи больших чисел и выполнения арифметических операций.

Исторически системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления

В непозиционных системах счисления количественное значение цифры не зависит от ее местоположения (позиции) в числе. Примерами таких систем являются иероглифические (например, древнеегипетская), алфавитные (например, славянская кириллическая) и римская системы счисления.

• Римская система: В ее основе лежат узловые знаки для 1 (I), 5 (V), 10 (X), 50 (L), 100 (C), 500 (D) и 1000 (M). Для записи чисел используется сложение и вычитание этих узловых знаков. Например, чтобы записать 9, записывают I перед X (\( \mathrm{IX} = 10 - 1 \)), а для записи 11, записывают I после X (\( \mathrm{XI} = 10 + 1 \)). Сравнительная таблица показывает, что римские цифры могут использоваться для записи чисел до 3999.
• Славянская алфавитная нумерация: Использовала буквы кириллицы с надстрочными знаками (титлами) для обозначения чисел. Она была распространена на Руси до XVII века, после чего была вытеснена арабскими цифрами, которые используются и сейчас.

Существенным недостатком непозиционных систем является сложность выполнения арифметических операций и необходимость введения большого количества новых символов для записи больших чисел.

Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления количественное значение (вес, разряд) цифры напрямую зависит от ее позиции (места) в записи числа. Это их главное и решающее преимущество.

• Преимущества: Простота выполнения арифметических операций (основанных на таблицах сложения и умножения) и ограниченный набор символов (цифр) для записи любого числа.
• Основание системы счисления (\( q \)): Это количество различных цифр, используемых в системе. Оно должно быть произвольным целым числом, большим единицы (\( q > 1 \)). Алфавит системы счисления с основанием \( q \) включает цифры от 0 до \( q - 1 \). Младшая цифра всегда 0.
• Десятичная система: Мы используем ее ежедневно. Основание \( q = 10 \), а алфавит состоит из цифр 0, 1, ..., 9. В ней вес каждого разряда в 10 раз больше, чем у соседнего правого разряда (т.е., степени 10: \( 10^0, 10^1, 10^2, \ldots \)).
• Развернутая форма записи числа: Любое целое неотрицательное число \( A_q \) в позиционной системе с основанием \( q \) может быть представлено как сумма произведений цифр числа на соответствующие степени основания \( q \). Формула развернутой формы: \( A_q = a_{n-1} \cdot q^{n-1} + a_{n-2} \cdot q^{n-2} + \ldots + a_0 \cdot q^0 \), где \( a_i \) — цифры числа, а \( q^i \) — вес \( i \)-го разряда.
• Свернутая форма записи числа: Это привычная нам запись числа: \( A_q = a_{n-1} a_{n-2} \ldots a_0 \).

Перевод чисел

Чтобы перевести число из позиционной системы счисления с основанием \( q \) в десятичную систему, необходимо записать его в развернутой форме и вычислить значение полученного арифметического выражения. Например, перевод числа \( 1423_5 \): \( 1423_5 = 1 \cdot 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 2 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0 = 125 + 100 + 10 + 3 = 238_{10} \).