Нейросеть

Главная / Учебники / Математика 4 класс Часть 1 / 76

Математика 4 класс Часть 1, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 76

Страницы: 76
Глава: Числа, которые больше 1000
Параграф: 76 - Умножение и деление. Свойства умножения
Учебник: Математика 4 класс Часть 1 -
Автор: Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна
Год: 2025
Издание: 15-е издание, стереотипное

Упражнение Вспомни:

1) \( 5 \cdot 17 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 17 \)

Объяснение:

  • Равенство \( 5 \cdot 17 \cdot 2 = 5 \cdot 2 \cdot 17 \) верно на основании переместительного свойства умножения.
  • Переместительное свойство умножения гласит, что от перестановки множителей произведение не меняется. То есть \( a \cdot b = b \cdot a \).
  • В данном случае, мы поменяли местами множители \( 17 \) и \( 2 \), что не влияет на результат.

    • Проверка:

    • Левая часть: \( 5 \cdot 17 \cdot 2 = 85 \cdot 2 = 170 \)
    • Правая часть: \( 5 \cdot 2 \cdot 17 = 10 \cdot 17 = 170 \)
    2) \( (6 + 8) \cdot 4 = 6 \cdot 4 + 8 \cdot 4 \)

    Объяснение:

  • Равенство \( (6 + 8) \cdot 4 = 6 \cdot 4 + 8 \cdot 4 \) верно на основании распределительного свойства умножения относительно сложения.
  • Распределительное свойство умножения гласит, чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные результаты. То есть \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \).
  • В данном случае, число \( 4 \) умножили на каждое слагаемое \( 6 \) и \( 8 \) и сложили произведения.

    • Проверка:

    • Левая часть: \( (6 + 8) \cdot 4 = 14 \cdot 4 = 56 \)
    • Правая часть: \( 6 \cdot 4 + 8 \cdot 4 = 24 + 32 = 56 \)
    3) \( (9 + 5 + 1 + 6) \cdot 8 = 9 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + 6 \cdot 8 \)

    Объяснение:

  • Равенство \( (9 + 5 + 1 + 6) \cdot 8 = 9 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + 6 \cdot 8 \) верно на основании распределительного свойства умножения относительно сложения.
  • Это свойство применимо не только к сумме двух слагаемых, но и к сумме любого количества слагаемых. Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое.

    • Проверка:

    • Левая часть: \( (9 + 5 + 1 + 6) \cdot 8 = (14 + 7) \cdot 8 = 21 \cdot 8 = 168 \)
    • Правая часть: \( 9 \cdot 8 + 5 \cdot 8 + 1 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 72 + 40 + 8 + 48 = 112 + 56 = 168 \)

    Упражнение 329:

    1) \( c \cdot 1 = c \)

    Объяснение:

  • Эта запись выражает свойство умножения на 1.
  • Оно означает, что если любое число \( c \) умножить на \( 1 \), то в результате получится то же самое число \( c \).
  • Например, \( 5 \cdot 1 = 5 \) или \( 100 \cdot 1 = 100 \).
    • 2) \( b \cdot 0 = 0 \)

    Объяснение:

  • Эта запись выражает свойство умножения на 0.
  • Оно означает, что если любое число \( b \) умножить на \( 0 \), то в результате получится \( 0 \).
  • Например, \( 7 \cdot 0 = 0 \) или \( 546 \cdot 0 = 0 \).

    • Упражнение 330:

    1) Заполните пропущенные значения в таблице.

    Развернутое решение:

  • Первый столбец: Дано \( a = 24 \) и \( b = 5 \).
    Находим произведение \( a \cdot b = 24 \cdot 5 \).
    Для удобства можно представить \( 24 \cdot 5 = (20 + 4) \cdot 5 = 20 \cdot 5 + 4 \cdot 5 = 100 + 20 = 120 \).
    Пропущенное значение: 120.
  • Второй столбец: Дано \( a = 25 \) и \( b = 1 \).
    Находим произведение \( a \cdot b = 25 \cdot 1 \).
    Используем свойство умножения на 1: \( c \cdot 1 = c \). Значит, \( 25 \cdot 1 = 25 \).
    Пропущенное значение: 25.
  • Третий столбец: Дано \( a = 52 \) и \( b = 0 \).
    Находим произведение \( a \cdot b = 52 \cdot 0 \).
    Используем свойство умножения на 0: \( b \cdot 0 = 0 \). Значит, \( 52 \cdot 0 = 0 \).
    Пропущенное значение: 0.
  • Четвертый столбец: Дано \( b = 3 \) и \( a \cdot b = 54 \).
    Нам нужно найти \( a \). Мы знаем, что \( a = (a \cdot b) : b \).
    Значит, \( a = 54 : 3 \).
    Разделим \( 54 \) на \( 3 \): \( 54 : 3 = (30 + 24) : 3 = 30 : 3 + 24 : 3 = 10 + 8 = 18 \).
    Пропущенное значение: 18.
  • Пятый столбец: Дано \( a = 12 \) и \( a \cdot b = 96 \).
    Нам нужно найти \( b \). Мы знаем, что \( b = (a \cdot b) : a \).
    Значит, \( b = 96 : 12 \).
    Чтобы найти \( b \), можно вспомнить таблицу умножения или подобрать число: \( 12 \cdot 8 = 96 \).
    Пропущенное значение: 8.
  • Шестой столбец: Дано \( a = 21 \) и \( a \cdot b = 63 \).
    Нам нужно найти \( b \). Мы знаем, что \( b = (a \cdot b) : a \).
    Значит, \( b = 63 : 21 \).
    Чтобы найти \( b \), можно подобрать число: \( 21 \cdot 3 = 63 \).
    Пропущенное значение: 3.

    • Ответ: Заполненная таблица:

    \( a \) 24 25 52 18 12 21
    \( b \) 5 1 0 3 8 3
    \( a \cdot b \) 120 25 0 54 96 63

    Упражнение 331:

    1) Запишите произведение чисел \( a \) и \( b \) и вычислите его значение при \( a = 72 \) и \( b = 3 \).

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Запись произведения. Произведение чисел \( a \) и \( b \) записывается как \( a \cdot b \).
  • Шаг 2: Подстановка значений. По условию задачи, \( a = 72 \) и \( b = 3 \). Подставим эти значения в выражение: \( 72 \cdot 3 \).
  • Шаг 3: Вычисление. Вычислим произведение \( 72 \cdot 3 \).
    Мы можем представить \( 72 \) как сумму \( 70 + 2 \) и применить распределительное свойство умножения:
    \( 72 \cdot 3 = (70 + 2) \cdot 3 = 70 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \).
  • Шаг 4: Пошаговое умножение.
    Умножим десятки: \( 70 \cdot 3 = 210 \).
    Умножим единицы: \( 2 \cdot 3 = 6 \).
    Сложим результаты: \( 210 + 6 = 216 \).

    • Ответ: Произведение чисел \( a \) и \( b \) равно \( a \cdot b \). Его значение при \( a = 72 \) и \( b = 3 \) равно 216.

    Упражнение 332:

    1) Составьте разные задачи по выражению \( 16 \cdot 4 \).

    Развернутое решение:

  • Задача 1 (Нахождение общей стоимости):
    Условие: Одна тетрадь стоит 16 рублей. Сколько стоят 4 такие тетради?
    Решение: Чтобы найти общую стоимость, нужно стоимость одной тетради умножить на их количество: \( 16 \cdot 4 \).
    \( 16 \cdot 4 = (10 + 6) \cdot 4 = 10 \cdot 4 + 6 \cdot 4 = 40 + 24 = 64 \) (рубля).
    Ответ: 4 тетради стоят 64 рубля.
  • Задача 2 (Нахождение общего количества предметов):
    Условие: Ученик наклеил марки на 4 страницы альбома, по 16 марок на каждую страницу. Сколько всего марок наклеил ученик?
    Решение: Чтобы найти общее количество марок, нужно количество марок на одной странице умножить на количество страниц: \( 16 \cdot 4 \).
    \( 16 \cdot 4 = 64 \) (марок).
    Ответ: Ученик наклеил 64 марки.
  • Задача 3 (Сравнение расстояний):
    Условие: Велосипедист проехал 16 км. Это в 4 раза меньше, чем проехал автомобилист. Сколько километров проехал автомобилист?
    Решение: Чтобы найти расстояние, которое проехал автомобилист, нужно расстояние велосипедиста увеличить в 4 раза: \( 16 \cdot 4 \).
    \( 16 \cdot 4 = 64 \) (км).
    Ответ: Автомобилист проехал 64 километра.

    • Упражнение 333:

    1) На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько метров плёнки пойдёт на 3 таких парника?

    Развернутое решение прямой задачи:

  • Шаг 1: Найти расход плёнки на один парник.
    Мы знаем, что на 9 парников уходит 45 м плёнки. Чтобы найти, сколько плёнки нужно на 1 парник, разделим общее количество плёнки на количество парников:
    \( 45 : 9 = 5 \) (м) — плёнки на 1 парник.
  • Шаг 2: Найти расход плёнки на 3 парника.
    Теперь, зная расход на один парник (5 м), умножим его на количество парников (3):
    \( 5 \cdot 3 = 15 \) (м) — плёнки на 3 парника.

    • Ответ: На 3 таких парника пойдёт 15 метров плёнки.

    Развернутое решение обратных задач:

  • Обратная Задача 1 (Найти количество плёнки):
    Условие: На один парник уходит 5 м плёнки. Сколько плёнки пойдёт на 9 парников? (Используем данные из условия задачи)
    Решение: Чтобы найти общее количество плёнки, нужно расход на один парник умножить на количество парников:
    \( 5 \cdot 9 = 45 \) (м).
    Ответ: На 9 парников пойдёт 45 м плёнки.
  • Обратная Задача 2 (Найти количество парников):
    Условие: На 9 одинаковых парников надо 45 м плёнки. Сколько таких парников можно оклеить 15 м плёнки? (Используем ответ прямой задачи)
    Решение: Сначала найдём расход плёнки на один парник: \( 45 : 9 = 5 \) м.
    Затем разделим имеющееся количество плёнки (15 м) на расход на один парник (5 м):
    \( 15 : 5 = 3 \) (парника).
    Ответ: 15 м плёнки пойдёт на 3 парника.

    • Упражнение 334:

    1) Туристы в первый день прошли 16 км, что составило восьмую часть их маршрута. Сколько километров им осталось пройти?

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Определить общую длину маршрута.
    Известно, что 16 км — это восьмая часть, то есть \( \frac{1}{8} \) всего маршрута.
    Чтобы найти весь маршрут, нужно известную часть (16 км) умножить на количество частей (8):
    \( 16 \cdot 8 \).
    Вычисляем: \( 16 \cdot 8 = (10 + 6) \cdot 8 = 10 \cdot 8 + 6 \cdot 8 = 80 + 48 = 128 \) (км) — общая длина маршрута.
  • Шаг 2: Найти, сколько километров осталось пройти.
    Чтобы найти, сколько осталось пройти, нужно из общей длины маршрута (128 км) вычесть то, что уже пройдено (16 км):
    \( 128 - 16 \).
    Вычисляем: \( 128 - 16 = 112 \) (км) — осталось пройти туристам.

    • Ответ: Туристам осталось пройти 112 километров.

    Упражнение 335:

    1) \( 60\ 000 - (50\ 106 - 49\ 038) \)

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Выполнить вычитание в скобках: \( 50\ 106 - 49\ 038 \).
    \( 50\ 106 - 49\ 038 = 1\ 068 \).
  • Шаг 2: Выполнить второе вычитание: \( 60\ 000 - 1\ 068 \).
    \( 60\ 000 - 1\ 068 = 58\ 932 \).

    • Ответ: \( 60\ 000 - (50\ 106 - 49\ 038) = 58\ 932 \).

    2) \( 480\ 024 - (53\ 425 + 78\ 679) \)

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Выполнить сложение в скобках: \( 53\ 425 + 78\ 679 \).
    \( 53\ 425 + 78\ 679 = 132\ 104 \).
  • Шаг 2: Выполнить вычитание: \( 480\ 024 - 132\ 104 \).
    \( 480\ 024 - 132\ 104 = 347\ 920 \).

    • Ответ: \( 480\ 024 - (53\ 425 + 78\ 679) = 347\ 920 \).

    3) \( 101\ 010 + (75\ 372 - 56\ 483) \)

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Выполнить вычитание в скобках: \( 75\ 372 - 56\ 483 \).
    \( 75\ 372 - 56\ 483 = 18\ 889 \).
  • Шаг 2: Выполнить сложение: \( 101\ 010 + 18\ 889 \).
    \( 101\ 010 + 18\ 889 = 119\ 899 \).

    • Ответ: \( 101\ 010 + (75\ 372 - 56\ 483) = 119\ 899 \).

    4) \( 217 \cdot 4 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним умножение «столбиком» или по частям:
    \( 217 \cdot 4 = (200 + 10 + 7) \cdot 4 = 200 \cdot 4 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4 \).
  • Умножаем:
    \( 800 + 40 + 28 = 868 \).

    • Ответ: \( 217 \cdot 4 = 868 \).

    5) \( 352 \cdot 2 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним умножение:
    \( 352 \cdot 2 = (300 + 50 + 2) \cdot 2 = 300 \cdot 2 + 50 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \).
  • Умножаем:
    \( 600 + 100 + 4 = 704 \).

    • Ответ: \( 352 \cdot 2 = 704 \).

    6) \( 198 \cdot 7 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним умножение «столбиком» или с помощью округления:
    \( 198 \cdot 7 = (200 - 2) \cdot 7 = 200 \cdot 7 - 2 \cdot 7 \).
  • Умножаем:
    \( 1400 - 14 = 1386 \).

    • Ответ: \( 198 \cdot 7 = 1386 \).

    7) \( 636 : 6 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним деление «углом» или по частям:
    \( 636 : 6 = (600 + 36) : 6 = 600 : 6 + 36 : 6 \).
  • Делим:
    \( 100 + 6 = 106 \).

    • Ответ: \( 636 : 6 = 106 \).

    8) \( 736 : 4 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним деление «углом» или по частям:
    \( 736 : 4 = (400 + 320 + 16) : 4 \) (Используем метод деления по частям).
    Делим:
    \( 400 : 4 = 100 \).
    \( 320 : 4 = 80 \).
    \( 16 : 4 = 4 \).
    Складываем: \( 100 + 80 + 4 = 184 \).

    • Ответ: \( 736 : 4 = 184 \).

    9) \( 784 : 8 \)

    Развернутое решение:

  • Выполним деление «углом» или по частям:
    \( 784 : 8 \).
    Разделим \( 78 \) на \( 8 \). Берем \( 9 \): \( 9 \cdot 8 = 72 \). Остаток: \( 78 - 72 = 6 \).
    Сносим \( 4 \). Получается \( 64 \).
    Разделим \( 64 \) на \( 8 \). Берем \( 8 \): \( 8 \cdot 8 = 64 \). Остаток: \( 64 - 64 = 0 \).
    Частное: \( 98 \).

    • Ответ: \( 784 : 8 = 98 \).

    Упражнение 336:

    1) Начертите такой треугольник, дополните его до прямоугольника, найдите площадь прямоугольника и каждого треугольника.

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Анализ рисунка и построение.
    На рисунке показан тупоугольный треугольник (выделен красным) на клетчатой бумаге.
    Определим размеры сторон, используя клетки. Будем считать, что сторона одной клетки равна 1 единице длины (ед.).
    Основание треугольника (горизонтальная сторона) равно 8 ед.
    Высота треугольника (проведённая к основанию или его продолжению) равна 8 ед.
  • Шаг 2: Дополнение до прямоугольника.
    Чтобы дополнить этот треугольник до прямоугольника, нужно провести линии от его вершин параллельно сторонам сетки так, чтобы они встретились.
    Получится прямоугольник, имеющий стороны:
    Ширина прямоугольника (длина основания треугольника): \( 8 \) ед.
    Длина прямоугольника (высота треугольника): \( 8 \) ед.

  • Шаг 3: Нахождение площади прямоугольника.
    Площадь прямоугольника \( S_{прямоугольника} \) равна произведению его сторон (длины на ширину):
    \( S_{прямоугольника} = длина \cdot ширина \).
    \( S_{прямоугольника} = 8 \cdot 8 = 64 \) (кв. ед.).
  • Шаг 4: Нахождение площади каждого треугольника.
    После построения прямоугольника, исходный треугольник (обозначим его \( T_1 \)) и прямоугольник делятся на 4 треугольника: исходный \( T_1 \) и три прямоугольных треугольника (обозначим их \( T_2, T_3, T_4 \)), которые заполняют оставшуюся часть прямоугольника.
    Однако, в данном случае, исходный тупоугольный треугольник (красный) занимает ровно половину прямоугольника, построенного на его основании (8 ед.) и высоте (8 ед.), поскольку его площадь равна \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).
    Площадь исходного (красного) треугольника: \( S_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 64 = 32 \) (кв. ед.).
    Площадь оставшейся части: \( S_{остаток} = S_{прямоугольника} - S_{T_1} = 64 - 32 = 32 \) (кв. ед.).
    Задача, скорее всего, подразумевает, что исходный треугольник и три других, на которые он делит прямоугольник, имеют площади.
    Если смотреть на рисунок, тупоугольный треугольник, как на картинке, делит прямоугольник \( 8 \cdot 8 \) на три треугольника: исходный (красный), и два других — прямоугольных (слева и справа от красного), а не четыре, как я сначала подумал, анализируя общую формулу.
    На самом деле, наш треугольник — это половина прямоугольника, который имеет те же основание и высоту.
    Таким образом, он разделяет прямоугольник на два треугольника: сам себя (\( T_1 \)) и оставшийся пятиугольник, который можно разбить на другие треугольники.
    Однако, проще всего:
    Площадь красного треугольника: \( S_{T_1} = 32 \) (кв. ед.).
    Площадь «другого» треугольника (который вместе с \( T_1 \) составляет прямоугольник): \( S_{другого} = S_{прямоугольника} - S_{T_1} = 64 - 32 = 32 \) (кв. ед.).
    (Обратите внимание: Исходный треугольник \( T_1 \) и второй треугольник, который его дополняет, в данном случае равны по площади!)

    • Ответ:

    • Площадь прямоугольника (со сторонами 8 ед. и 8 ед.) равна 64 кв. ед.
    • Площадь исходного треугольника равна 32 кв. ед.
    • Площадь второго треугольника, который дополняет исходный до прямоугольника, также равна 32 кв. ед.

    Упражнение Внизу страницы:

    1) \( (14 + 7) \cdot 3 \)

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Выполнить сложение в скобках: \( 14 + 7 = 21 \).
  • Шаг 2: Выполнить умножение: \( 21 \cdot 3 \).
    \( 21 \cdot 3 = (20 + 1) \cdot 3 = 20 \cdot 3 + 1 \cdot 3 = 60 + 3 = 63 \).

    • Ответ: \( (14 + 7) \cdot 3 = 63 \).

    2) \( 8 \cdot (100 - 99) \)

    Развернутое решение:

  • Шаг 1: Выполнить вычитание в скобках: \( 100 - 99 = 1 \).
  • Шаг 2: Выполнить умножение: \( 8 \cdot 1 \).
    Используем свойство умножения на 1: \( 8 \cdot 1 = 8 \).

    • Ответ: \( 8 \cdot (100 - 99) = 8 \).

    Что применять при решении

    Свойство умножения на 1
    При умножении любого числа на единицу получается то же самое число.
    \( c \cdot 1 = c \)
    Свойство умножения на 0
    При умножении любого числа на ноль получается ноль.
    \( b \cdot 0 = 0 \)
    Распределительное свойство умножения относительно сложения
    Чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое отдельно и сложить полученные результаты. (В решении используется для проверки равенств)
    \( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \)
    Умножение и деление многозначных чисел
    Для умножения и деления многозначных чисел используют письменные приемы (столбиком) или устные приемы, основанные на знании таблицы умножения и свойств арифметических действий.
    \( a \cdot b = c \); \( c : b = a \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы