Математика 4 класс Часть 1, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 81

Здесь применяется приём деления суммы на число. Делимое 936 разложили на удобные слагаемые: 900, 30 и 6. Каждое из этих слагаемых легко делится на делитель 3:

• Первый шаг: Разложение числа 936 на сумму разрядных слагаемых: \( 936 = 900 + 30 + 6 \).
• Второй шаг: Применяем правило деления суммы на число: \( (900 + 30 + 6) : 3 = 900 : 3 + 30 : 3 + 6 : 3 \).
• Третий шаг: Вычисляем частное для каждого слагаемого: \( 900 : 3 = 300 \), \( 30 : 3 = 10 \), \( 6 : 3 = 2 \).
• Четвёртый шаг: Складываем полученные результаты: \( 300 + 10 + 2 = 312 \).

Ответ: \( 936 : 3 = 312 \).

Этот пример также использует приём деления суммы на число. Делимое 455 разложили на сумму удобных слагаемых: 450 и 5. Каждое слагаемое делится на делитель 5:

• Первый шаг: Разложение числа 455 на сумму удобных слагаемых: \( 455 = 450 + 5 \). Выбраны именно 450 и 5, потому что 450 (45 десятков) легко делится на 5, и 5 легко делится на 5.
• Второй шаг: Применяем правило деления суммы на число: \( (450 + 5) : 5 = 450 : 5 + 5 : 5 \).
• Третий шаг: Вычисляем частное для каждого слагаемого: \( 450 : 5 = 90 \) (так как \( 45 : 5 = 9 \), то \( 450 : 5 = 90 \)), \( 5 : 5 = 1 \).
• Четвёртый шаг: Складываем полученные результаты: \( 90 + 1 = 91 \).

Ответ: \( 455 : 5 = 91 \).

Найдём частное и остаток:

• Нужно найти самое большое число, которое меньше или равно 56 и делится на 15 без остатка.
• Проверим умножением: \( 15 \times 1 = 15 \), \( 15 \times 2 = 30 \), \( 15 \times 3 = 45 \), \( 15 \times 4 = 60 \).
• Число 60 больше 56, поэтому берём 3. Частное равно 3.
• Найдём остаток: \( 56 - (15 \times 3) = 56 - 45 = 11 \).
• Остаток 11 меньше делителя 15 (\( 11 < 15 \)), значит, деление выполнено верно.

Частное: 3, Остаток: 11.

Выполним проверку:

• Для проверки нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток: \( 3 \times 15 + 11 \).
• Умножаем: \( 3 \times 15 = 45 \).
• Прибавляем остаток: \( 45 + 11 = 56 \).
• Получилось делимое 56, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: \( 56 : 15 = 3 \) (ост. \( 11 \)). Проверка: \( 3 \times 15 + 11 = 56 \).

Найдём частное и остаток:

• Нужно найти самое большое число, которое меньше или равно 92 и делится на 30 без остатка.
• Проверим умножением: \( 30 \times 1 = 30 \), \( 30 \times 2 = 60 \), \( 30 \times 3 = 90 \), \( 30 \times 4 = 120 \).
• Число 120 больше 92, поэтому берём 3. Частное равно 3.
• Найдём остаток: \( 92 - (30 \times 3) = 92 - 90 = 2 \).
• Остаток 2 меньше делителя 30 (\( 2 < 30 \)), значит, деление выполнено верно.

Частное: 3, Остаток: 2.

Выполним проверку:

• Для проверки нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток: \( 3 \times 30 + 2 \).
• Умножаем: \( 3 \times 30 = 90 \).
• Прибавляем остаток: \( 90 + 2 = 92 \).
• Получилось делимое 92, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: \( 92 : 30 = 3 \) (ост. \( 2 \)). Проверка: \( 3 \times 30 + 2 = 92 \).

Найдём частное и остаток:

• Выполним деление уголком (столбиком):
• Делим сотни: \( 39 : 9 \). Самое большое число, делящееся на 9 и меньшее 39, это \( 9 \times 4 = 36 \). Частное: 4 (первая цифра). Остаток: \( 39 - 36 = 3 \).
• Сносим следующую цифру (9), получаем 39.
• Делим: \( 39 : 9 \). Снова берём 4. \( 9 \times 4 = 36 \).
• Остаток: \( 39 - 36 = 3 \).
• Деление закончено. Частное равно 44, остаток 3.
• Остаток 3 меньше делителя 9 (\( 3 < 9 \)), значит, деление выполнено верно.

Частное: 44, Остаток: 3.

Выполним проверку:

• Нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток: \( 44 \times 9 + 3 \).
• Умножаем: \( 44 \times 9 = (40 + 4) \times 9 = 40 \times 9 + 4 \times 9 = 360 + 36 = 396 \).
• Прибавляем остаток: \( 396 + 3 = 399 \).
• Получилось делимое 399, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: \( 399 : 9 = 44 \) (ост. \( 3 \)). Проверка: \( 44 \times 9 + 3 = 399 \).

Найдём частное и остаток:

• Выполним деление уголком (столбиком):
• Делим сотни: \( 8 : 8 = 1 \). Частное: 1 (первая цифра). Остаток: \( 8 - 8 = 0 \).
• Сносим следующую цифру (5).
• Делим: \( 5 : 8 \). 8 не помещается в 5. Частное: 0 (вторая цифра). Остаток: \( 5 - (8 \times 0) = 5 \).
• Сносим следующую цифру (4), получаем 54.
• Делим: \( 54 : 8 \). Самое большое число, делящееся на 8 и меньшее 54, это \( 8 \times 6 = 48 \). Частное: 6 (третья цифра).
• Остаток: \( 54 - 48 = 6 \).
• Деление закончено. Частное равно 106, остаток 6.
• Остаток 6 меньше делителя 8 (\( 6 < 8 \)), значит, деление выполнено верно.

Частное: 106, Остаток: 6.

Выполним проверку:

• Нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток: \( 106 \times 8 + 6 \).
• Умножаем: \( 106 \times 8 = (100 + 6) \times 8 = 100 \times 8 + 6 \times 8 = 800 + 48 = 848 \).
• Прибавляем остаток: \( 848 + 6 = 854 \).
• Получилось делимое 854, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: \( 854 : 8 = 106 \) (ост. \( 6 \)). Проверка: \( 106 \times 8 + 6 = 854 \).

Найдём частное и остаток:

• Делимое 34 меньше делителя 40 (\( 34 < 40 \)).
• Если делимое меньше делителя, то частное равно 0, а остаток равен самому делимому.
• Частное: 0, Остаток: 34.
• Остаток 34 меньше делителя 40 (\( 34 < 40 \)), значит, деление выполнено верно.

Частное: 0, Остаток: 34.

Выполним проверку:

• Нужно частное умножить на делитель и прибавить остаток: \( 0 \times 40 + 34 \).
• Умножаем: \( 0 \times 40 = 0 \).
• Прибавляем остаток: \( 0 + 34 = 34 \).
• Получилось делимое 34, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: \( 34 : 40 = 0 \) (ост. \( 34 \)). Проверка: \( 0 \times 40 + 34 = 34 \).

Объяснение: Эта запись обозначает, что при делении нуля на любое число \( a \) (кроме нуля) в частном получается нуль. Это логично, потому что если разделить ничто (нуль) на любое количество частей, то в каждой части будет ничто (нуль).

Примеры вычислений (показаны слева в учебнике):

• \( 0 : 145 \): Если 0 разделить на 145, получим 0.
• \( 0 : 964 \): Если 0 разделить на 964, получим 0.
• \( 0 : 208 \): Если 0 разделить на 208, получим 0.
• \( 0 : 342 \): Если 0 разделить на 342, получим 0.

Ответ: \( 0 : 145 = 0 \), \( 0 : 964 = 0 \), \( 0 : 208 = 0 \), \( 0 : 342 = 0 \).

Объяснение: Эта запись обозначает, что при делении любого числа \( b \) на единицу (1) в частном получается само это число \( b \). Это верно, так как если число разделить на одну часть, то эта часть и будет равна этому числу.

Примеры вычислений (показаны слева в учебнике):

• \( 375 : 1 \): Если 375 разделить на 1, получим 375.
• \( 863 : 1 \): Если 863 разделить на 1, получим 863.

Ответ: \( 375 : 1 = 375 \), \( 863 : 1 = 863 \).

Объяснение: Эта запись обозначает, что при делении любого числа \( c \) (кроме нуля) на само себя в частном получается единица (1). Это верно, так как если разделить число на равные части, количество которых равно самому числу, то каждая часть будет равна 1.

Примеры вычислений (показаны слева в учебнике):

• \( 375 : 375 \): Если 375 разделить на 375, получим 1.
• \( 863 : 863 \): Если 863 разделить на 863, получим 1.
• \( 1 : 1 \): Если 1 разделить на 1, получим 1.

Ответ: \( 375 : 375 = 1 \), \( 863 : 863 = 1 \).

Задача: У Оли было 24 конфеты. Она решила разделить их поровну между 6 своими подругами. Сколько конфет получит каждая подруга?

• Решение: Чтобы найти, сколько конфет получит каждая подруга, нужно общее количество конфет разделить на количество подруг: \( 24 : 6 = 4 \) (конфеты).

Ответ: Каждая подруга получит 4 конфеты.

Задача: На грядке выросло 24 огурца. Мама решила закатать их в банки, по 6 огурцов в каждую банку. Сколько банок с огурцами получилось у мамы?

• Решение: Чтобы найти количество банок, нужно общее количество огурцов разделить на количество огурцов в одной банке: \( 24 : 6 = 4 \) (банки).

Ответ: Получилось 4 банки с огурцами.

Задача: В классе 24 девочки и 6 мальчиков. Во сколько раз девочек в классе больше, чем мальчиков?

• Решение: Чтобы найти, во сколько раз одно число больше другого, нужно большее число разделить на меньшее: \( 24 : 6 = 4 \) (раза).

Ответ: Девочек в 4 раза больше, чем мальчиков.

Это составная задача, которую нужно решить по действиям.

1. Найдём, какой расход бензина у машины за 1 час (это производительность, которую нужно найти):

• Известно, что за 2 часа расходуется 12 л бензина.
• Чтобы найти расход за 1 час, нужно общий расход разделить на время: \( 12 : 2 = 6 \) (л/ч).
• Пояснение: 6 литров бензина расходуется за 1 час.

2. Найдём, на сколько часов хватит 48 л бензина:

• Известно, что всего есть 48 л бензина, а расход - 6 л в час.
• Чтобы найти время, нужно общее количество бензина разделить на расход в час: \( 48 : 6 = 8 \) (ч).
• Пояснение: 48 литров бензина хватит на 8 часов езды.

Ответ на первый вопрос: 48 л бензина хватит на 8 часов езды.

Второй вопрос неполный (не указана длительность поездки). Предположим, что 8 поездок — это всего 8 часов езды (так как в задаче дана информация о расходе в литрах на время).

1. Вспомним расход бензина за 1 час (это мы нашли в первом варианте):

• Расход бензина за 1 час: \( 12 : 2 = 6 \) (л/ч).
• Пояснение: 6 литров бензина расходуется за 1 час.

2. Найдём, сколько литров бензина потребуется на 8 часов езды (8 поездок по 1 часу):

• Чтобы найти общий расход бензина, нужно расход за 1 час умножить на количество часов: \( 6 \times 8 = 48 \) (л).
• Пояснение: На 8 часов езды (или 8 поездок, если каждая поездка длится 1 час) потребуется 48 литров бензина.

Ответ на второй вопрос: Потребуется 48 литров бензина (при условии, что 8 поездок = 8 часов езды).

Вопрос к задаче: Сколько машин изготовил завод в этом году?

Решение:

• Известно: В прошлом году изготовили 1 400 машин.
• Известно: 1 400 машин — это на 300 машин меньше, чем в этом году. Значит, в этом году изготовили на 300 машин больше, чем в прошлом.
• Действие: Чтобы найти количество машин в этом году, нужно к количеству машин прошлого года прибавить 300: \( 1400 + 300 = 1700 \) (машин).
• Пояснение: В этом году завод изготовил 1 700 машин.

Ответ: В этом году завод изготовил 1 700 машин.

Это составная задача на сложение величин, выраженных в разных единицах (километры и метры).
Вспомним, что 1 км = 1000 м. Сначала переведём все величины в метры или выполним сложение в составных единицах.

1. Переведём известные расстояния в метры для удобства:

• Первая бригада: \( 5 \text{ км } 060 \text{ м} = 5 \times 1000 + 60 = 5000 + 60 = 5060 \) м.
• На сколько больше: \( 2 \text{ км } 280 \text{ м} = 2 \times 1000 + 280 = 2000 + 280 = 2280 \) м.
• Осталось покрыть: \( 965 \) м.

2. Найдём, сколько заасфальтировала вторая бригада:

• Вторая бригада заасфальтировала на 2280 м больше, чем первая: \( 5060 + 2280 = 7340 \) м.
• Пояснение: Вторая бригада заасфальтировала 7340 м шоссе.

3. Найдём общую длину шоссе, которую нужно было покрыть:

• Общая длина равна сумме того, что покрыли первая бригада, вторая бригада, и того, что осталось: \( 5060 \text{ м} + 7340 \text{ м} + 965 \text{ м} \).
• Сложим: \( 5060 + 7340 = 12400 \) м.
• Прибавим остаток: \( 12400 + 965 = 13365 \) м.

4. Переведём общий ответ обратно в километры и метры:

• \( 13365 \text{ м} = 13000 \text{ м} + 365 \text{ м} = 13 \text{ км } 365 \text{ м} \).

Ответ: Длина шоссе, которое нужно было покрыть, составляет 13 км 365 м (или 13365 м).

Выполним деление столбиком:

• Первое неполное делимое: 65. Делим \( 65 : 7 \). Ближайшее число, делящееся на 7, это \( 7 \times 9 = 63 \). Частное: 9. Остаток: \( 65 - 63 = 2 \).
• Второе неполное делимое: Сносим 8, получаем 28. Делим \( 28 : 7 \). \( 7 \times 4 = 28 \). Частное: 4. Остаток: \( 28 - 28 = 0 \).
• Результат: 94.

Ответ: \( 658 : 7 = 94 \).

Выполним вычисления по порядку действий: сначала деление в скобках, затем умножение, и в конце сложение.

• 1. Деление в скобках: \( 536 : 8 \).
  • \( 53 : 8 \). Ближайшее: \( 8 \times 6 = 48 \). Частное: 6. Остаток: \( 53 - 48 = 5 \).
  • Сносим 6, получаем 56. \( 56 : 8 = 7 \). Частное: 7.
  • Результат деления: \( 536 : 8 = 67 \).
• 2. Умножение: \( 4 \times 67 \).
  • \( 4 \times 60 = 240 \).
  • \( 4 \times 7 = 28 \).
  • \( 240 + 28 = 268 \).
• 3. Сложение: \( 9235 + 268 \).
  • \( 9235 + 200 = 9435 \).
  • \( 9435 + 68 = 9503 \).

Ответ: \( 9235 + 4 \times (536 : 8) = 9503 \).

В выражении пропущено арифметическое действие перед числом 199 099. Предположим, что пропущено сложение (это единственное действие, которое может иметь место, так как в задании требуется только вычисление, а вычитание числа 199 099 из 40 077 - 7 не имеет смысла для 4 класса, так как дает отрицательный результат).
Предполагаем, что пример должен выглядеть так: \( 40\ 077 - 7 + 199\ 099 \).

• 1. Вычитание: \( 40\ 077 - 7 = 40\ 070 \).
• 2. Сложение: \( 40\ 070 + 199\ 099 \).
  • Складываем в столбик: \( 40070 + 199099 = 239169 \).

Ответ (предполагаемый): \( 40\ 077 - 7 + 199\ 099 = 239\ 169 \).

Если второе число не 199 099, а 199 009, и между числами стоит вычитание, то: \( 40\ 077 - 7 - 19\ 099 \):

• 1. Вычитание: \( 40\ 077 - 7 = 40\ 070 \).
• 2. Вычитание: \( 40\ 070 - 19\ 099 \).
  • Вычитаем в столбик: \( 40070 - 19099 = 20971 \).

Ответ (предполагаемый): \( 40\ 077 - 7 - 19\ 099 = 20\ 971 \).

Выполним деление столбиком или по частям:

• 1. Разложим делимое: \( 836 = 800 + 36 \).
• 2. Делим по частям: \( 836 : 4 = (800 + 36) : 4 = 800 : 4 + 36 : 4 \).
• 3. Вычисляем частные: \( 800 : 4 = 200 \). \( 36 : 4 = 9 \).
• 4. Складываем результаты: \( 200 + 9 = 209 \).

Ответ: \( 836 : 4 = 209 \).

Выполним вычисления по порядку действий: сначала вычитание в скобках, затем деление, и в конце умножение.

• 1. Вычитание в скобках: \( 2010 - 1065 \).
  • \( 2010 - 1000 = 1010 \).
  • \( 1010 - 65 = 945 \).
  • Результат вычитания: \( 945 \).
• 2. Деление: \( 945 : 7 \).
  • \( 9 : 7 = 1 \) (ост. 2). Сносим 4, получаем 24.
  • \( 24 : 7 \). Ближайшее: \( 7 \times 3 = 21 \). Частное: 3. Остаток: \( 24 - 21 = 3 \). Сносим 5, получаем 35.
  • \( 35 : 7 = 5 \). Частное: 5.
  • Результат деления: \( 135 \).
• 3. Умножение: \( 135 \times 6 \).
  • \( 100 \times 6 = 600 \).
  • \( 30 \times 6 = 180 \).
  • \( 5 \times 6 = 30 \).
  • \( 600 + 180 + 30 = 810 \).

Ответ: \( (2\ 010 - 1\ 065) : 7 \times 6 = 810 \).

Выполним вычисления по порядку действий: сначала умножение, затем сложение.

• 1. Умножение: \( 9020 \times 6 \).
  • \( 9020 \times 6 = (9000 + 20) \times 6 = 9000 \times 6 + 20 \times 6 \).
  • \( 9000 \times 6 = 54000 \).
  • \( 20 \times 6 = 120 \).
  • \( 54000 + 120 = 54120 \).
• 2. Сложение: \( 54120 + 53901 \).
  • Складываем в столбик: \( 54120 + 53901 = 108021 \).

Ответ: \( 9\ 020 \times 6 + 53\ 901 = 108\ 021 \).

Уравнение: \( x : 9 = 1000 - 910 \)

• 1. Упростим правую часть уравнения (выполним вычитание):
  \( 1000 - 910 = 90 \).
  Уравнение примет вид: \( x : 9 = 90 \).
• 2. Найдём неизвестное делимое \( x \).
  Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: \( x = 90 \times 9 \).
• 3. Выполним умножение:
  \( x = 810 \).
• 4. Проверка (подставим \( x = 810 \) в исходное уравнение):
  \( 810 : 9 = 1000 - 910 \)
  \( 90 = 90 \). Равенство верное.

Ответ: \( x = 810 \).

Уравнение: \( 100 \times x = 2430 - 2030 \)

• 1. Упростим правую часть уравнения (выполним вычитание):
  \( 2430 - 2030 = 400 \).
  Уравнение примет вид: \( 100 \times x = 400 \).
• 2. Найдём неизвестный множитель \( x \).
  Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: \( x = 400 : 100 \).
• 3. Выполним деление:
  \( x = 4 \).
• 4. Проверка (подставим \( x = 4 \) в исходное уравнение):
  \( 100 \times 4 = 2430 - 2030 \)
  \( 400 = 400 \). Равенство верное.

Ответ: \( x = 4 \).

Уравнение: \( x : 9 = 1000 - 920 \)

• 1. Упростим правую часть уравнения (выполним вычитание):
  \( 1000 - 920 = 80 \).
  Уравнение примет вид: \( x : 9 = 80 \).
• 2. Найдём неизвестное делимое \( x \).
  Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель: \( x = 80 \times 9 \).
• 3. Выполним умножение:
  \( x = 720 \).
• 4. Проверка (подставим \( x = 720 \) в исходное уравнение):
  \( 720 : 9 = 1000 - 920 \)
  \( 80 = 80 \). Равенство верное.

Ответ: \( x = 720 \).

Уравнение: \( 100 \times x = 2430 - 2420 \)

• 1. Упростим правую часть уравнения (выполним вычитание):
  \( 2430 - 2420 = 10 \).
  Уравнение примет вид: \( 100 \times x = 10 \).
• 2. Найдём неизвестный множитель \( x \).
  Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель: \( x = 10 : 100 \).
• 3. Выполним деление:
  В курсе 4 класса мы можем сказать, что \( 10 : 100 \) не делится нацело, но если представить это в виде дроби (десятичной), то \( x = 0,1 \). Если ответ должен быть целым числом, то, возможно, в условии опечатка. Однако, выполним деление как есть:
  \( x = 10 : 100 = 0,1 \).
• 4. Проверка (подставим \( x = 0,1 \) в исходное уравнение):
  \( 100 \times 0,1 = 2430 - 2420 \)
  \( 10 = 10 \). Равенство верное.

Ответ: \( x = 0,1 \).

Задача требует найти такое однозначное число (обозначим его \( X \)), что:

\( 12\ 345\ 679 \times X = \text{Число, состоящее из единиц} \)

• Число, состоящее из единиц, имеет вид 1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, 1111111, 11111111, 111111111, и т.д.
• Искомое число \( X \) — однозначное, т.е. \( X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} \).
• Посмотрим на последнюю цифру (разряд единиц) в произведении. Она должна быть 1.
• Последняя цифра множителя 12 345 679 — это 9.
• Нужно найти такую цифру \( X \), при умножении которой на 9, последняя цифра произведения будет 1.
• Проверим:
  • \( 9 \times 1 = 9 \)
  • \( 9 \times 2 = 18 \)
  • \( 9 \times 3 = 27 \)
  • \( 9 \times 4 = 36 \)
  • \( 9 \times 5 = 45 \)
  • \( 9 \times 6 = 54 \)
  • \( 9 \times 7 = 63 \)
  • \( 9 \times 8 = 72 \)
  • \( 9 \times \mathbf{9} = 8\mathbf{1} \)
• Единственная цифра, которая даёт 1 в разряде единиц при умножении на 9, это 9. Следовательно, искомое однозначное число \( X \) должно быть 9.
• Проверим умножением: \( 12\ 345\ 679 \times 9 \).
  Выполним умножение столбиком:
  \( 12\ 345\ 679 \times 9 = 111\ 111\ 111 \).

Ответ: Нужно умножить на однозначное число 9.

Выполним деление по частям (или столбиком):

• 1. Разложим делимое: \( 693 = 600 + 90 + 3 \).
• 2. Делим по частям: \( 693 : 3 = (600 + 90 + 3) : 3 = 600 : 3 + 90 : 3 + 3 : 3 \).
• 3. Вычисляем частные: \( 600 : 3 = 200 \). \( 90 : 3 = 30 \). \( 3 : 3 = 1 \).
• 4. Складываем результаты: \( 200 + 30 + 1 = 231 \).

Ответ: \( 693 : 3 = 231 \).

Выполним деление по частям (или столбиком):

• 1. Разложим делимое: \( 468 = 400 + 60 + 8 \).
• 2. Делим по частям: \( 468 : 2 = (400 + 60 + 8) : 2 = 400 : 2 + 60 : 2 + 8 : 2 \).
• 3. Вычисляем частные: \( 400 : 2 = 200 \). \( 60 : 2 = 30 \). \( 8 : 2 = 4 \).
• 4. Складываем результаты: \( 200 + 30 + 4 = 234 \).

Ответ: \( 468 : 2 = 234 \).