Математика 4 класс Часть 2, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 110

Шаг 1. Сравнение длин диагоналей.

• Приложим циркуль или линейку к отрезку \( AC \) (диагональ 1).
• Затем приложим циркуль или линейку к отрезку \( BD \) (диагональ 2).
• Мы увидим, что длина диагонали \( AC \) равна длине диагонали \( BD \).
• Вывод 1: Диагонали прямоугольника равны.

Шаг 2. Сравнение отрезков от точки пересечения \( O \) до вершин.

• Поставим ножку циркуля в точку \( O \).
• Раскроем циркуль на длину отрезка \( OA \).
• Не меняя раствор циркуля, проверим длину отрезков \( OB \), \( OC \), \( OD \).
• Мы увидим, что длина отрезка \( OA \) равна \( OC \). А длина отрезка \( OB \) равна \( OD \).
• Поскольку диагонали равны (\( AC = BD \)), и точка \( O \) делит их пополам (\( AC = OA + OC \) и \( BD = OB + OD \)), то половинки всех диагоналей также будут равны: \( OA = OB = OC = OD \).
• Вывод 2: Точка пересечения диагоналей делит каждую диагональ пополам.

Шаг 3. Проверка выводов по чертежу 2 (прямоугольник \( KLMN \)).

• На чертеже 2, где диагонали \( KM \) и \( LN \) пересекаются в точке \( E \), мы также можем проверить циркулем, что \( KM = LN \) и \( KE = EM = LE = EN \).

Ответ:

• 1) Диагонали прямоугольника равны. \( AC = BD \).
• 2) Точка пересечения диагоналей прямоугольника делит каждую диагональ пополам. \( OA = OC \) и \( OB = OD \). Так как диагонали равны, то все четыре отрезка равны: \( OA = OB = OC = OD \).

Шаг 1. Построение прямоугольника.

• С помощью линейки и угольника (или по клеточкам тетради) начертите прямоугольник, например, со сторонами 6 см и 4 см. Обозначьте его вершины буквами, например, \( MNPQ \).

Шаг 2. Построение диагоналей и точки пересечения.

• С помощью линейки проведите диагонали \( MP \) и \( NQ \).
• Обозначьте точку их пересечения буквой, например, \( T \).

Шаг 3. Проверка свойства 1 (Равенство диагоналей).

• Поставьте ножку циркуля на вершину \( M \) и раскройте циркуль до вершины \( P \). Это длина первой диагонали \( MP \).
• Не меняя раствор циркуля, попробуйте приложить его к второй диагонали \( NQ \).
• Вы увидите, что циркуль точно совпадёт с диагональю \( NQ \), то есть \( MP = NQ \).
• Вывод: Диагонали равны.

Шаг 4. Проверка свойства 2 (Деление пополам).

• Поставьте ножку циркуля в точку пересечения \( T \).
• Раскройте циркуль до вершины \( M \).
• Не меняя раствор циркуля, проверьте длину отрезков \( TN \), \( TP \), \( TQ \).
• Вы увидите, что \( TM = TN = TP = TQ \).
• Вывод: Точка пересечения \( T \) делит каждую диагональ пополам, и все четыре отрезка, идущие от центра до вершин, равны.

Шаг 1. Построение окружности.

• Отметьте точку \( O \) - это будет центр окружности.
• Поставьте ножку циркуля в точку \( O \) и начертите окружность любого удобного размера.

Шаг 2. Проведение двух диаметров.

• С помощью линейки проведите прямую линию (диаметр), проходящую через центр \( O \). Обозначьте точки пересечения этого диаметра с окружностью как \( A \) и \( C \). Отрезок \( AC \) - первый диаметр.
• Проведите вторую прямую линию (диаметр), также проходящую через центр \( O \), но под любым углом к первому диаметру. Обозначьте точки пересечения этого диаметра с окружностью как \( B \) и \( D \). Отрезок \( BD \) - второй диаметр.

Шаг 3. Соединение концов диаметров.

• С помощью линейки последовательно соедините концы диаметров: \( A \) с \( B \), \( B \) с \( C \), \( C \) с \( D \), и \( D \) с \( A \). Получится четырёхугольник \( ABCD \).

Шаг 4. Проверка.

• В получившемся четырёхугольнике \( ABCD \):
• Диагонали \( AC \) и \( BD \) - это диаметры одной окружности, а все диаметры одной окружности равны. Это соответствует свойству 1 прямоугольника.
• Точка \( O \) - центр окружности, через который проходят оба диаметра, значит, \( O \) делит их пополам. Это соответствует свойству 2 прямоугольника.
• Четырёхугольник, у которого диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, является прямоугольником.

Ответ: Четырёхугольник \( ABCD \) - прямоугольник. Мы использовали свойства диагоналей прямоугольника, чтобы его построить.

Шаг 1. Построение прямоугольника и диагоналей.

• Начертите прямоугольник \( MNPQ \).
• Проведите диагонали \( MP \) и \( NQ \).
• Отметьте точку их пересечения \( K \).

Шаг 2. Построение окружности.

• Поставьте ножку циркуля в точку \( K \) (это будет центр окружности).
• Раскройте циркуль до любой вершины прямоугольника, например, до вершины \( M \). Длина отрезка \( KM \) - это радиус окружности.
• Начертите окружность.

Шаг 3. Объяснение.

• Мы знаем свойство диагоналей прямоугольника: точка их пересечения делит каждую диагональ пополам, и все отрезки от центра до вершин равны: \( KM = KN = KP = KQ \).
• Когда мы ставим центр окружности в точку \( K \) и выбираем радиусом отрезок \( KM \), то из-за равенства \( KM = KN = KP = KQ \) окружность автоматически пройдёт через все четыре вершины (\( M \), \( N \), \( P \), \( Q \)).
• Это происходит потому, что все вершины находятся на одинаковом расстоянии (\( KM \)) от центра окружности \( K \).

Ответ: Окружность проходит через все вершины прямоугольника, потому что точка пересечения диагоналей делит их на четыре равных отрезка, и эти отрезки являются радиусами данной окружности.