Математика 4 класс Часть 2, учебник Моро Мария Игнатьевна, Волкова Светлана Ивановна, Степанова Светлана Вячеславовна ответы – страница 111

Развёрнутое решение и пояснения к упражнению 2

Шаг 1: Анализ чертежа и определение элементов.

• На чертеже изображён квадрат (фигура K L M N) и его диагонали.
• Диагонали квадрата — это отрезки, соединяющие его противоположные вершины. На чертеже это отрезки K M и L N.
• Точка пересечения диагоналей — это точка, в которой эти отрезки пересекаются. На чертеже это точка E.

Шаг 2: Определение свойств диагоналей квадрата.

• Квадрат является частным случаем прямоугольника (прямоугольник с равными сторонами).
• Поскольку квадрат — это прямоугольник, его диагонали обладают всеми свойствами диагоналей прямоугольника: они равны по длине (т.е. \( K M = L N \) ) и в точке пересечения делятся пополам (т.е. \( K E = E M = L E = E N \) ).
• Дополнительное свойство диагоналей квадрата (которое отличает его от обычного прямоугольника): при пересечении они образуют прямые углы, то есть углы, равные \( 90^\circ \).

Шаг 3: Проверка свойства по чертежу.

• При пересечении диагоналей \( K M \) и \( L N \) в точке \( E \), образуются четыре угла: \( \angle K E L \), \( \angle L E M \), \( \angle M E N \) и \( \angle N E K \).
• В тексте сказано, что эти углы прямые. Это означает, что \( \angle K E L = \angle L E M = \angle M E N = \angle N E K = 90^\circ \).
• На чертеже можно увидеть, что диагонали \( K M \) и \( L N \) выглядят как перпендикулярные прямые, то есть они образуют прямые углы. Проверка заключается в том, чтобы представить, что в точке \( E \) можно поместить угольник, и увидеть, что его прямой угол совпадёт с углами между диагоналями.

Ответ:

• Диагонали квадрата: \( K M \) и \( L N \).
• Точка пересечения диагоналей: \( E \).
• Свойства диагоналей квадрата (так как квадрат — это прямоугольник): они равны по длине и в точке пересечения делятся пополам.
• Ещё одно свойство: диагонали квадрата пересекаются под прямым углом (\( 90^\circ \)).

Развёрнутое решение и пояснения к упражнению 3

Для построения квадрата с заданной длиной диагонали \( 5 \) см мы будем использовать два ключевых свойства диагоналей квадрата:

1. Они равны по длине (обе \( 5 \) см).
2. Они пересекаются под прямым углом (\( 90^\circ \)).
3. В точке пересечения они делятся пополам. Если диагональ \( 5 \) см, то половина диагонали будет \( 5 \div 2 = 2,5 \) см.

Порядок построения:

Шаг 1: Построение первой диагонали.

• Начертите отрезок \( A C \), который будет первой диагональю, длиной \( 5 \) см.
• Найдите середину этого отрезка. Середина будет находиться на расстоянии \( 2,5 \) см от каждого конца. Обозначьте эту точку буквой \( O \).

Шаг 2: Построение второй диагонали.

• С помощью транспортира или угольника (или с помощью построений, как в упражнении 4) проведите через точку \( O \) прямую, которая перпендикулярна (образует прямой угол, \( 90^\circ \)) отрезку \( A C \).
• На этой перпендикулярной прямой отложите от точки \( O \) отрезки \( O B \) и \( O D \), каждый длиной \( 2,5 \) см (это половина второй диагонали). То есть, \( O B = O D = 2,5 \) см.
• Полученный отрезок \( B D \) будет второй диагональю, его полная длина \( 2,5 + 2,5 = 5 \) см.

Шаг 3: Соединение вершин.

• Соедините отрезками последовательно точки \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \).
• Полученная фигура \( A B C D \) будет квадратом, так как его диагонали равны (по \( 5 \) см), пересекаются под прямым углом и делятся пополам.

Ответ: Квадрат строится путём проведения двух перпендикулярных отрезков длиной \( 5 \) см, которые делят друг друга пополам в точке пересечения.

Развёрнутое решение и пояснения к упражнению 4, пункт 1

Это задание учит строить перпендикулярную прямую к отрезку (или его серединный перпендикуляр) с помощью циркуля и линейки, что позволяет получить четыре прямых угла.

Порядок построения (Чертёж 1):

Шаг 1: Построение отрезка и выбор радиуса.

• Начертите на бумаге произвольную прямую и отметьте на ней отрезок \( A B \).
• Возьмите циркуль и установите его раствор (радиус) так, чтобы он был больше половины длины отрезка \( A B \). Это важно, чтобы окружности (дуги) гарантированно пересеклись.

Шаг 2: Проведение окружностей (дуг).

• Поставьте ножку циркуля в точку \( A \) и проведите дугу (или окружность).
• Не меняя раствора циркуля, поставьте ножку в точку \( B \) и проведите вторую дугу (или окружность).

Шаг 3: Определение и соединение точек пересечения.

• Обозначьте точки, в которых пересеклись дуги, буквами \( C \) (сверху) и \( D \) (снизу).
• Проведите прямую линию, проходящую через точки \( C \) и \( D \).

Шаг 4: Определение вершины и проверка углов.

• Точку пересечения прямой \( C D \) и исходного отрезка \( A B \) обозначьте буквой \( O \).
• Прямая \( C D \) является серединным перпендикуляром к отрезку \( A B \). Это означает, что она перпендикулярна отрезку \( A B \).
• Проверка: В точке \( O \) образовалось 4 угла: \( \angle A O C \), \( \angle C O B \), \( \angle B O D \) и \( \angle D O A \). Все эти углы являются прямыми, то есть равны \( 90^\circ \). Вы можете проверить это с помощью угольника.

Вывод: Таким образом, через точку \( O \) мы построили две взаимно перпендикулярные прямые, которые образуют четыре прямых угла.

Развёрнутое решение и пояснения к упражнению 4, пункт 2

В этом задании мы используем чертёж из пункта 1 для построения равнобедренных треугольников.

Порядок построения и анализа (Чертёж 2):

Шаг 1: Построение основы.

• Выполните построение, как в пункте 1, чтобы получить отрезок \( A B \) и перпендикулярную ему прямую \( C D \), пересекающиеся в точке \( O \).
• Точки \( C \) и \( D \) были получены при пересечении двух дуг равного радиуса, проведённых из центров \( A \) и \( B \).

Шаг 2: Построение первого треугольника.

• Возьмите любую точку на отрезке \( C D \). По условию, можно взять, например, точку \( C \) или точку \( D \), или любую другую точку на прямой \( C D \).
• Соедините выбранную точку (например, \( C \)) отрезками с точками \( A \) и \( B \). Получится треугольник \( A C B \).

Шаг 3: Проверка вида треугольника.

• Вспомните, что точки \( C \) и \( D \) были получены с помощью циркуля, установленного на один и тот же радиус из точек \( A \) и \( B \).
• Поэтому отрезки \( A C \) и \( B C \) (как и \( A D \) и \( B D \)) являются радиусами равных окружностей (или дуг).
• Следовательно, \( A C = B C \).
• Вывод: Треугольник \( A C B \) имеет две равные стороны \( A C \) и \( B C \), что означает, что он является равнобедренным.

Шаг 4: Построение дополнительных треугольников.

• Второй равнобедренный треугольник: Соедините точки \( A \), \( D \) и \( B \). Получится треугольник \( A D B \). Поскольку \( A D = B D \) (по той же причине, что и в Шаге 3), этот треугольник также равнобедренный.
• Третий равнобедренный треугольник: Соедините точки \( A \), \( C \) и \( O \). Получится прямоугольный треугольник \( A O C \). Поскольку точка \( O \) является серединой отрезка \( A B \), \( A O = O B \). Если вы выберете произвольную точку \( X \) на \( C D \) (например, \( O \)) и соедините её с \( A \) и \( B \), вы получите треугольник \( A O B \), который равнобедренный с равными боковыми сторонами \( A O \) и \( O B \).

  Корректнее: Соедините \( A \), \( O \) и \( C \). Треугольник \( A O C \) - прямоугольный, но не обязательно равнобедренный. Давайте выберем другой: треугольник \( A C D \). Его стороны: \( A C \), \( C D \), \( A D \). Мы знаем, что \( A C = A D \) (они получены одним и тем же радиусом из \( A \)), следовательно, треугольник \( A C D \) тоже равнобедренный.

• Разносторонний треугольник: Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны имеют разную длину. Чтобы его построить:
  1. Отметьте точку \( M \), которая не лежит ни на прямой \( A B \), ни на прямой \( C D \) (и не совпадает с \( A \), \( B \), \( C \), \( D \), \( O \)).
  2. Соедините эту точку \( M \) с точками, например, \( A \) и \( B \). Получится треугольник \( A M B \). Если вы не уверены, что \( A M \), \( M B \) и \( A B \) имеют разную длину, измерьте их.
  3. Альтернатива: Выберите точку \( M \) на прямой \( C D \) далеко от \( O \) и постройте треугольник \( M O A \). Стороны \( M O \), \( O A \), \( M A \) почти наверняка будут разными.

Ответ:

• Соединив точку \( C \) с \( A \) и \( B \), мы получили равнобедренный треугольник \( A C B \) (стороны \( A C = B C \)).
• Ещё два равнобедренных треугольника, полученных на чертеже: \( A D B \) (стороны \( A D = B D \)) и \( A C D \) (стороны \( A C = A D \)).
• Разносторонний треугольник можно построить, взяв произвольную точку, например, \( M \), и соединив её с двумя другими точками, например, \( A \) и \( O \), так, чтобы стороны \( M A \), \( M O \) и \( A O \) были разные.