Краткое содержание: Параграф § 12 / Информатика 10 класс

Основные принципы арифметических операций

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием \( q \) проводятся по правилам, которые аналогичны правилам, используемым в десятичной системе счисления. Для обучения основным операциям в начальной школе используются таблицы сложения и умножения. Аналогичные таблицы могут быть составлены для любой позиционной системы счисления.

Сложение и Вычитание

Сложение чисел в системе счисления с основанием \( q \) включает поразрядное суммирование цифр, начиная с младшего разряда. Если сумма цифр \( a_i + b_i < q \), то цифра суммы \( s_i = a_i + b_i \), и перенос в старший разряд отсутствует. Если \( a_i + b_i \ge q \), то \( s_i = a_i + b_i - q \), а в старший \( (i+1) \)-й разряд переносится единица. Например, в троичной системе счисления \( 2_3 + 2_3 = 11_3 \). В шестнадцатеричной системе \( 9_{16} + A_{16} = 13_{16} \).

Вычитание чисел также производится поразрядно, начиная с младшего разряда. Если \( a_i \ge b_i \), то разность \( r_i = a_i - b_i \), и заём из старшего разряда не требуется. Если \( a_i < b_i \), то \( r_i = a_i - b_i + q \), а старший \( (i+1) \)-й разряд уменьшается на единицу (выполняется заём в старшем разряде). Например, в двоичной системе \( 10_2 - 1_2 = 1_2 \), что соответствует \( 2_{10} - 1_{10} = 1_{10} \).

Умножение и Деление

Умножение чисел в системе счисления с основанием \( q \) выполняется по правилам, аналогичным десятичной системе, используя таблицы умножения. Умножение многозначного числа на однозначное производится столбиком. Затем частные (поразрядные) произведения складываются по разрядам. При этом, если произведение \( a_i \cdot b_j < q \), то в текущем разряде записывается \( a_i \cdot b_j \), а перенос в старший разряд отсутствует. Если \( a_i \cdot b_j \ge q \), то в текущем разряде записывается \( (a_i \cdot b_j) \bmod q \), а в старший разряд переносится \( (a_i \cdot b_j) \operatorname{div} q \) (операция целочисленного деления).

Деление чисел в произвольной системе счисления \( q \) выполняется аналогично делению в десятичной системе.

Особенности Двоичной Арифметики

Двоичная арифметика, являясь основой компьютерных вычислений, использует простейшие таблицы сложения, вычитания и умножения. Ключевые таблицы:

• Сложение: \( 0+0=0 \), \( 0+1=1 \), \( 1+0=1 \), \( 1+1=10 \).
• Вычитание: \( 0-0=0 \), \( 1-0=1 \), \( 1-1=0 \), \( 10-1=1 \).
• Умножение: \( 0 \cdot 0=0 \), \( 0 \cdot 1=0 \), \( 1 \cdot 0=0 \), \( 1 \cdot 1=1 \).

Для работы с двоичными числами вида \( 2^n \) полезно знать закономерности их двоичной записи. Например:

• \( 2^n = 10...0 \) (\( n \) нулей)
• \( 2^n - 1 = 1...1 \) (\( n \) единиц)
• \( 2^n + 2^m = 10...010...0 \) (при \( n > m \))
• \( 2^n - 2^m = 1...10...0 \) (при \( n > m \))

Эти соотношения полезны для быстрого подсчета количества единиц в двоичной записи сложных выражений.

Общий алгоритм действий

При необходимости вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, рекомендуется:

1. Перевести все операнды в привычную десятичную систему счисления.
2. Выполнить вычисления в десятичной системе.
3. Полученный результат перевести в требуемую систему счисления.