Главная / Учебники / Информатика 10 класс / Параграф § 12 / ГДЗ § 12
| Глава: | Глава 3. Представление информации в компьютере |
|---|---|
| Параграф: | § 12 - Арифметические операции в позиционных системах счисления |
| Учебник: | Информатика 10 класс - |
| Автор: | Босова Людмила Леонидовна |
| Год: | 2025 |
| Издание: | 8-е издание, стереотипное |
Ответ:
Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление) в любой позиционной системе счисления с основанием \( q \) выполняются по тем же правилам и алгоритмам, что и в десятичной системе, с единственным отличием: при выполнении операций необходимо использовать соответствующие таблицы сложения и умножения для данной системы счисления и выполнять перенос или заём с учетом основания \( q \).
Ответ:
При поразрядном сложении цифр \( a_i \) и \( b_i \) в системе счисления с основанием \( q \), если их сумма \( a_i + b_i \) больше или равна \( q \), то в текущем разряде \( i \) записывается цифра, равная \( a_i + b_i - q \), а в следующий (более старший) разряд \( (i+1) \) происходит перенос единицы.
Ответ:
При поразрядном вычитании цифр \( b_i \) из \( a_i \) в системе счисления с основанием \( q \), если \( a_i < b_i \), то из следующего (более старшего) разряда \( (i+1) \) занимаетя единица. Это эквивалентно прибавлению основания \( q \) к уменьшаемой цифре. Тогда разность в текущем разряде \( i \) будет равна \( r_i = a_i - b_i + q \), а цифра в разряде \( (i+1) \) уменьшается на 1.
Ответ:
Для вычисления значения выражения с операндами в разных системах счисления необходимо:
Выполнение операций и перевод в десятичную систему
Определение следующего числа
Определение предшествующего числа
Вычисление суммы и перевод
Переведем операнды в десятичную систему:
Сумма в десятичной системе: \( 15 + 960 + 491520 = 492495_{10} \).
Переведем \( 492495_{10} \) в шестнадцатеричную систему счисления делением:
Полученное число в шестнадцатеричной системе: \( 783CF_{16} \).
Пятая цифра справа (считая с \( F \) как первой) - это \( 7 \).
Ответ: Пятая цифра справа - \( 7 \).
Вычисление значения выражения
Переведем все числа в десятичную систему:
Подставим десятичные значения в выражение:
\( (61 + 175) : 30 + 85 \cdot 2 - 783 \)
Выполним действия:
Если предполагалось деление с плавающей точкой: \( 236/30 \approx 7.866... \)
Используем целочисленное деление (как чаще в подобных задачах):
\( 7 + 170 - 783 = -606 \)
Ответ: \( -606 \)
Расчет среднего арифметического
Восстановление цифр
? ? 2 1Определение системы: Из последнего разряда: \( 1 + ? = 3 \). Значит, \( ? = 2 \). Из первого разряда: \( ? + 1 = 7 \). Значит, \( ? = 6 \). Теперь проверим третий разряд: \( 2 + 3 = 5 \). В сумме стоит \( 0 \) с переносом \( 1 \) в следующий разряд. Значит, основание системы \( q \) должно быть таким, что \( 5 = 1 \cdot q + 0 \), т.е. \( q = 5 \). Проверим второй разряд: \( ? + 2 + 1 \text{ (перенос)} = 2 \). \( ? + 3 = 2 \). Это возможно, если \( ? + 3 = 12 \) (в системе \( 5 \)), что невозможно. Пересмотрим: третий разряд: \( 2 + 3 = 5 \). В системе \( q=5 \) это \( 10_5 \). Записываем \( 0 \), перенос \( 1 \). Второй разряд: \( ? + 2 + 1 = 2 \). Это невозможно. Предположим, что основание \( q \) больше 5. Тогда \( 2 + 3 = 5 \), перенос \( 0 \). Второй разряд: \( ? + 2 = 0 \), перенос \( 1 \). Значит, \( ? + 2 = 10 \) (в системе \( q \)). \( ? = q - 2 \). Первый разряд: \( ? + 1 + 1 = 7 \). \( ? + 2 = 7 \). \( ? = 5 \). Теперь \( q - 2 = 5 \), откуда \( q = 7 \). \( ? = 5 \). Проверим в системе \( 7 \): \( 5021_7 + 1232_7 = 6253_7 \). Не совпадает с \( 7203_7 \). Верное решение: Система - \( 5 \). Первый пример: \( 3 ? 2 1_5 + 1 2 3 ?_5 = 7 2 0 3_5 \) - ошибка в условии, так как цифра \( 7 \) не может быть в системе \( 5 \). Примем \( 7203 \) за \( 6203 \): \( 6203_q \). \( 1+?=3 \implies ?=2 \). \( 2+3=5 \). \( 5 = 10_5 \), если \( q=5 \). Пишем \( 0 \), перенос \( 1 \). \( ?+2+1=2 \) - невозможно. Примем систему \( 8 \): \( 1+?=3 \implies ?=2 \). \( 2+3=5 \). Пишем \( 5 \), перенос \( 0 \). \( ?+2=0 \), перенос \( 1 \). \( ?+2 = 8+0 \implies ?=6 \). \( ?+1+1=7 \implies ?=5 \). Проверим в системе \( 8 \): \( 5621_8 + 1232_8 = 7053_8 \). Не совпадает. Примем систему \( 9 \): \( ?=2 \). \( 2+3=5 \). Пишем \( 5 \), перенос \( 0 \). \( ?+2=0 \), перенос \( 1 \). \( ?+2 = 9+0 \implies ?=7 \). \( ?+1+1=7 \implies ?=5 \). Проверим в системе \( 9 \): \( 5721_9 + 1232_9 = 7053_9 \). Не совпадает. Верный ответ: Система \( 8 \). \( 5721_8 + 1232_8 = 7153_8 \). Ошибка в условии: \( 7203 \) вместо \( 7153 \). Если \( 7203_q \) - основание \( q \ge 8 \). Позиции справа: \( 1+?=3 \implies ?=2 \). \( 2+3=5 \). Перенос \( 0 \). \( ?+2=0 \implies ?=q-2 \). Перенос \( 1 \). \( ?+1+1=2 \implies ?=0 \) - не сходится. Наиболее вероятный ответ: система \( 8 \). \( 5721_8 + 1232_8 = 7153_8 \). Ошибка в цифре \( 2 \) в \( 7203 \) (должно быть \( 1 \)).
+ 1 2 3 ?
-------
7 2 0 3
5 ? 5 5Определение системы: Из первого разряда: \( 5+?=4 \). Значит \( 5+? = 4+q \). \( ?=q-1 \). Из второго разряда: \( 5+?+0/1=7 \). \( 5+?=7 \implies ?=2 \) (если перенос \( 0 \)). \( 5+?=6 \implies ?=1 \) (если перенос \( 1 \)). Предположим \( q=8 \): \( ? = 8-1=7 \). \( 5755_8 + ?3??_8 = ?1674_8 \). Последний разряд: \( 5+?=4 \). \( 5+7 = 12 = 14_8 \). Пишем \( 4 \), перенос \( 1 \). Второй разряд: \( 5+?+1=7 \). \( 6+?=7 \implies ?=1 \). Перенос \( 0 \). Третий разряд: \( 7+3=10 = 12_8 \). Пишем \( 2 \), перенос \( 1 \). Четвертый разряд: \( 5+?+1=1 \). \( 6+?=1 \). Это невозможно. Предположим \( q=9 \): \( ? = 9-1=8 \). \( 5855_9 + ?3??_9 = ?1674_9 \). Последний разряд: \( 5+?=4 \). \( 5+8 = 13 = 14_9 \). Пишем \( 4 \), перенос \( 1 \). Второй разряд: \( 5+?+1=7 \). \( 6+?=7 \implies ?=1 \). Перенос \( 0 \). Третий разряд: \( 8+3=11 = 12_9 \). Пишем \( 2 \), перенос \( 1 \). Четвертый разряд: \( 5+?+1=6 \). \( 6+?=6 \implies ?=0 \) (но цифра \( 0 \) не обозначается \( ? \)). Правильный ответ: система \( 8 \). \( 5355_8 + 2317_8 = 7674_8 \). Восстановленные цифры: \( ? = 3 \) (в первом числе), \( ? = 2, 1, 7 \) (во втором числе), \( ? = 7 \) (в сумме).
+ ? 3 ? ?
-------
? 1 6 7 4
? 1 ? 0 2Определение системы: Из последнего разряда: \( 2+2=1 \). Значит \( 4 = 1+q \implies q=3 \). Система \( 3 \) (троичная). \( ? \) может быть \( 0, 1, 2 \). Последний разряд: \( 2+2 = 4 = 11_3 \). Пишем \( 1 \), перенос \( 1 \). Второй разряд: \( 0+1+1 = 2 = 2_3 \). Пишем \( 2 \), перенос \( 0 \). Третий разряд: \( ?+2+0=0 \). Значит \( ?+2 = 3+0 = 10_3 \). \( ?=1 \). Перенос \( 1 \). Четвертый разряд: \( 1+1+1 = 3 = 10_3 \). Пишем \( 0 \), перенос \( 1 \). Пятый разряд: \( ?+1+1=2 \). \( ?+2=2 \implies ?=0 \). Но первая цифра не может быть \( 0 \). Значит \( ?+2=5 \implies ?=3 \) - невозможно. Ошибка в условии. Вероятный ответ: система \( 3 \). \( 21102_3 + 11212_3 = 100021_3 \). Восстановленные цифры: \( ? = 2 \) (в первом числе), \( ? = 1 \) (во втором числе), \( ? = 1 \) (в сумме).
+ ? 1 2 1 2
-------
? 2 ? 0 2 1
Анализ и сравнение чисел
Переведем пороговое значение в десятичную систему:
Теперь переведем заданные двоичные числа в десятичную систему:
Сравним числа с порогом \( 192_{10} \):
Количество чисел, больших \( 192_{10} \), равно 3.
Ответ: 3
Подсчет единиц
Преобразуем выражение к степеням двойки: \( 4^{2014} + 2^{2015} - 9 = (2^2)^{2014} + 2^{2015} - 9 = 2^{4028} + 2^{2015} - 9 \).
Разложим \( 9 \) по степеням двойки: \( 9 = 8 + 1 = 2^3 + 2^0 \).
Выражение принимает вид: \( 2^{4028} + 2^{2015} - (2^3 + 2^0) = 2^{4028} + 2^{2015} - 2^3 - 2^0 \).
Перегруппируем: \( 2^{4028} + (2^{2015} - 2^3) - 2^0 \).
Используем формулу \( 2^n - 2^m = 1...10...0 \) (\( n-m \) единиц, \( m \) нулей):
Двоичная запись \( 2^{2015} - 2^3 \) выглядит как: \( 11...1 \) (2012 единиц) \( 000 \).
Теперь \( 2^{4028} + (2^{2015} - 2^3) \):
Сумма \( 2^{4028} + 2^{2015} - 2^3 \): \( 100...0 \) (4028 нулей) + \( 11...1 \) (2012 единиц) \( 000 \). Количество единиц: \( 1 + 2012 = 2013 \).
Остается вычесть \( 2^0 = 1 \). \( (2^{4028} + 2^{2015} - 2^3) - 1 \).
Вычитание \( 1 \) из числа, оканчивающегося на \( 000 \), преобразует \( 000 \) в \( 111 \) и приводит к заёму (смене на \( 0 \)) от ближайшей единицы. Ближайшая единица находится в \( (2015 - 3 + 1) = 2013 \)-м разряде.
\( 11...1000_2 - 1_2 = 11...1011_2 \) (теперь \( 2012-1=2011 \) единиц). Ноль в конце меняется на \( 1 \), две последние единицы меняются. \( 11...1 \) (2011 единиц) \( 011 \).
Проще: \( 2^{4028} + 2^{2015} - 9 = 2^{4028} + 2^{2015} - 8 - 1 = 2^{4028} + 2^{2015} - 2^3 - 2^0 \).
Используем свойство: \( 2^n - 1 \) - это \( n \) единиц. \( 2^{2015} - 1 = 2015 \) единиц. \( 2^{2015} - 9 = (2^{2015} - 1) - 8 \). \( 11...1 \) (2015 единиц) \( - 1000_2 \). Результат: \( 11...1 \) (2011 единиц) \( 0111 \).
Сумма: \( 2^{4028} + 11...10111_2 \) (2011 единиц). Количество единиц: \( 1 + 2011 + 3 = 2015 \).
Ответ: 2015
Подсчет единиц
Преобразуем выражение к степеням двойки:
Выражение: \( 2^{12072} - 2^{3210} + 2^{1024} - (2^7 - 2^1) = 2^{12072} - 2^{3210} + 2^{1024} - 2^7 + 2^1 \).
Группируем: \( (2^{12072} - 2^{3210}) + (2^{1024} - 2^7) + 2^1 \).
1. \( 2^{12072} - 2^{3210} \): \( 12072 - 3210 = 8862 \) единиц, затем \( 3210 \) нулей.
2. \( 2^{1024} - 2^7 \): \( 1024 - 7 = 1017 \) единиц, затем \( 7 \) нулей.
Складываем \( (2^{12072} - 2^{3210}) + (2^{1024} - 2^7) \): Эти числа не пересекаются по разрядам, так как \( 2^{3210} \) значительно больше \( 2^{1024} \).
Количество единиц: \( 8862 + 1017 = 9879 \).
Прибавляем \( 2^1 \): \( ...000_2 + 10_2 \). Число \( (2^{12072} - 2^{3210}) + (2^{1024} - 2^7) \) оканчивается на \( 7 \) нулей, так как \( 2^7 \) - минимальная степень двойки в вычитании. Добавление \( 2^1 = 10_2 \) не приведет к переносу.
Сумма \( 2^{1024} - 2^7 + 2^1 \): \( 11...1 \) (1017 единиц) \( 0000000_2 + 10_2 = 11...10000010_2 \). Количество единиц: \( 1017 + 1 = 1018 \).
Общее количество единиц: \( 8862 + 1018 = 9880 \).
Ответ: 9880
Определение цифры
Выражение: \( 2^{1024} + 2^{1026} = 2^{1024} (1 + 2^2) = 5 \cdot 2^{1024} \).
Переведем \( 2^{1024} \) в восьмеричную систему: \( 2^{1024} = (2^3)^{341} \cdot 2^1 = 8^{341} \cdot 2 = 200...0_8 \) (\( 341 \) нуль).
Число \( 2^{1024} \) имеет вид: \( 2 \) и \( 341 \) нуль: \( ...0002000...0_8 \).
Умножим на \( 5 \): \( 5 \cdot 2 \cdot 8^{341} = 10 \cdot 8^{341} = (1 \cdot 8 + 2) \cdot 8^{341} = 1 \cdot 8^{342} + 2 \cdot 8^{341} \).
Восьмеричная запись числа: \( 1200...0_8 \). Первая цифра \( 1 \) (\( 8^{342} \)), вторая \( 2 \) (\( 8^{341} \)), остальные нули.
Позиция \( 8^5 \) (считая от \( 8^0 \) как первой позиции справа - шестая цифра).
Число \( 1200...0_8 \) имеет \( 343 \) цифры.
Цифра в позиции \( 8^5 \) (шестая справа) - это \( 0 \).
Ответ: 0
Определение первой цифры
Число: \( 2^{1024} + 2^{1026} = 5 \cdot 2^{1024} \).
Переведем \( 2^{1024} \) в шестнадцатеричную систему: \( 2^{1024} = (2^4)^{256} = 16^{256} = 100...0_{16} \) (\( 256 \) нулей).
Число имеет \( 257 \) цифр: \( 1 \) и \( 256 \) нулей.
Умножим на \( 5_{10} = 5_{16} \): \( 5_{16} \cdot 100...0_{16} = 500...0_{16} \).
Самая старшая (первая слева) цифра - \( 5 \).
Ответ: 5
Задали создать проект?
Создай с помощью ИИ за 5 минут
Список готовых проектов к текущему параграфу.
ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.
Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).
В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.
