Краткое содержание: Параграф § 13 / Информатика 10 класс

Основные принципы представления чисел

В компьютерах используются различные способы для представления целых и вещественных чисел, что обусловлено необходимостью эффективной обработки данных. Исторически первыми данными, с которыми работали ЭВМ, были числа, используемые для математических расчетов.

Представление целых чисел

Для представления целых чисел применяют несколько подходов, отличающихся количеством разрядов (чаще всего 8, 16, 32 или 64) и наличием или отсутствием знакового разряда.

• Беззнаковое представление: Используется только для неотрицательных целых чисел. Число \( N \) в \( n \)-разрядной ячейке памяти может принимать значения от 0 до \( 2^n - 1 \). Например, для 8 разрядов диапазон составляет от 0 до 255.
• Знаковое представление (Прямой код): Старший разряд отводится под знак (0 для положительных, 1 для отрицательных), а остальные разряды – под само число (модуль). Максимальное положительное число, которое можно записать в \( n \)-разрядах, равно \( 2^{n-1} - 1 \).
• Дополнительный код: Используется для упрощения арифметических операций (сложения и вычитания), позволяя процессору выполнять их, используя один и тот же алгоритм. Прямой код положительного числа совпадает с его дополнительным кодом. Для отрицательного числа дополнительный код \( K_{доп} \) находится путем инвертирования всех разрядов прямого кода (кроме знакового, который остается 1) и последующего прибавления единицы к младшему разряду: \( K_{доп}(-N) = \overline{K_{пр}(N)} + 1 \). С помощью дополнительного кода вычитание \( A - B \) заменяется на сложение \( A + (-B) \), где \( -B \) представлено в дополнительном коде.

Множество целых чисел, представляемых в компьютере, является дискретным, конечным и ограниченным, что отличает его от бесконечного множества целых чисел в математике.

Представление вещественных чисел

Вещественные числа в компьютере представляются в нормализованной форме, похожей на экспоненциальную запись:

\( a = \pm m \cdot q^p \)

где:

• \( \pm \) — знак числа.
• \( m \) — мантисса, дробная часть числа, содержащая одну значащую (ненулевую) цифру до точки/запятой, т.е. \( 1 \le m < q \).
• \( q \) — основание системы счисления (для компьютера \( q=2 \), для примера калькулятора \( q=10 \)).
• \( p \) — порядок, целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Этот способ представления используется в стандарте IEEE 754. Диапазон вещественных чисел, представляемых в памяти компьютера, ограничен (зависит от количества разрядов, отведенных под мантиссу и порядок), а само множество, как и для целых, является дискретным, конечным и ограниченным. Причины ограничения:

• Конечное число ячеек памяти для мантиссы и порядка.
• Бесконечное множество чисел между любыми двумя вещественными числами (в математике). Компьютер может представить лишь некоторую конечную часть этого множества, остальные числа представляются приближенно.

Нормализованная запись обеспечивает однозначное представление вещественных чисел, отличное от нуля.