ГДЗ: Параграф § 7 / Информатика 11 класс

Усовершенствованная программа на Pascal с учетом того, что достаточно искать делители до \( \lfloor \sqrt{\text{n}} \rfloor \):

var  n, i: longint;  flag: boolean;  limit: longint; // Переменная для хранения целой части корняbegin  writeln('Введите n');  read(n);  flag:=true;  limit := trunc(sqrt(n)); // Вычисляем целую часть корня из n  for i:=2 to limit do // Цикл до целой части корня    if n mod i = 0 then    begin      flag:=false;      break; // Дополнительно: прерываем цикл, как только нашли делитель    end;  if flag then writeln('Да') else writeln('Нет')end.

Примечание: Использование функции \( \text{trunc}(\text{sqrt}(\text{n})) \) позволяет вычислить \( \lfloor \sqrt{\text{n}} \rfloor \) и сократить количество итераций цикла, повышая эффективность программы, что особенно важно для больших чисел.

Программа из Примера 4 (стр. 94) выполняет цикл \( \text{for } \text{k}:=5 \text{ to } 10 \text{ do } \dots \) с 6 итерациями, где \( \text{s}:=\text{s}+\text{d} \) и \( \text{d}:=\text{d}*2 \). Начальное значение \( \text{s}=0 \).

Переменная \( \text{s} \) накапливает сумму \( 6 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \), так как \( \text{d} \) удваивается после каждого сложения, но используется в сложении еще до его удвоения (в трассировочной таблице видно, что при \( \text{k}=5 \), \( \text{s}=\text{s}+10 \), где \( \text{d}=10 \), и после этого \( \text{d} \) становится \( 20 \)).

Проанализируем цикл, где \( \text{s}_{\text{k}} \) - значение \( \text{s} \) после \( \text{k} \)-й итерации:

\( \text{k} \in [5, 10] \). Цикл выполняется \( 10 - 5 + 1 = 6 \) раз.

Пусть \( \text{d}_0 \) — начальное значение \( \text{d} \). При каждой итерации к \( \text{s} \) прибавляется \( \text{d} \), и затем \( \text{d} \) удваивается.

Итерация 1 (\( \text{k}=5 \)): \( \text{s} = \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 2 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Итерация 2 (\( \text{k}=6 \)): \( \text{s} = \text{d}_{\text{нач}} + 2 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 4 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Итерация 3 (\( \text{k}=7 \)): \( \text{s} = \text{d}_{\text{нач}} + 2 \cdot \text{d}_{\text{нач}} + 4 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 8 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Итерация 4 (\( \text{k}=8 \)): \( \text{s} = \dots + 8 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 16 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Итерация 5 (\( \text{k}=9 \)): \( \text{s} = \dots + 16 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 32 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Итерация 6 (\( \text{k}=10 \)): \( \text{s} = \dots + 32 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \); \( \text{d} = 64 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

Конечное значение \( \text{s} \):

\( \text{s} = \text{d}_{\text{нач}} \cdot (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32) = \text{d}_{\text{нач}} \cdot (2^6 - 1) = 63 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \)

Если \( \text{s} = 186 \), то \( 186 = 63 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

\( \text{d}_{\text{нач}} = \frac{186}{63} \approx 2.95 \).

Поскольку \( \text{d} \) должно быть целым (тип \( \text{integer} \)), то такое значение \( \text{s}=186 \) не может быть получено при целочисленном \( \text{d}_{\text{нач}} \).

Если \(\text{s}=212\):

\( 212 = 63 \cdot \text{d}_{\text{нач}} \).

\( \text{d}_{\text{нач}} = \frac{212}{63} \approx 3.36 \).

Поскольку \( \text{d} \) должно быть целым, то такое значение \( \text{s}=212 \) также не может быть получено при целочисленном \( \text{d}_{\text{нач}} \).

Программа:

var a, b: integer;begina:=5;b:=1;while b<=a dobeginb:=b+1;a:=a-1;end;writeln(a);writeln(b);end.

Проведем трассировку (пошаговый анализ):

1. Начало: \( \text{a}=5 \), \( \text{b}=1 \).
2. Условие \( \text{b} \le \text{a} \): \( 1 \le 5 \) — Истина.
3. Цикл 1: \( \text{b} = 1+1=2 \); \( \text{a} = 5-1=4 \).
4. Условие \( \text{b} \le \text{a} \): \( 2 \le 4 \) — Истина.
5. Цикл 2: \( \text{b} = 2+1=3 \); \( \text{a} = 4-1=3 \).
6. Условие \( \text{b} \le \text{a} \): \( 3 \le 3 \) — Истина.
7. Цикл 3: \( \text{b} = 3+1=4 \); \( \text{a} = 3-1=2 \).
8. Условие \( \text{b} \le \text{a} \): \( 4 \le 2 \) — Ложь.

Цикл завершается.

Результат: Переменная \( \text{a} \) примет значение \( 2 \), а переменная \( \text{b} \) примет значение \( 4 \). (Совпадает с таблицей на стр. 93)

Программа:

var s, n: integer;begins:=0; n:=1;while sqr(s+2)<125 dobeginn:=n*2;s:=s+2;end;writeln(n)end.

Проведем трассировку (в цикле \( \text{sqr}(\text{s}+2) \) — это \( (\text{s}+2)^2 \)):
Условие выхода: \( (\text{s}+2)^2 \ge 125 \). Т.к. \( 11^2 = 121 \) и \( 12^2 = 144 \), цикл выполняется до тех пор, пока \( \text{s}+2 < 12 \), т.е. \( \text{s} < 10 \).

• Начальные: \( \text{s}=0 \), \( \text{n}=1 \).
• Итерация 1: Условие: \( (0+2)^2 = 4 < 125 \) (Истина). \( \text{n} = 1 \cdot 2 = 2 \); \( \text{s} = 0+2=2 \).
• Итерация 2: Условие: \( (2+2)^2 = 16 < 125 \) (Истина). \( \text{n} = 2 \cdot 2 = 4 \); \( \text{s} = 2+2=4 \).
• Итерация 3: Условие: \( (4+2)^2 = 36 < 125 \) (Истина). \( \text{n} = 4 \cdot 2 = 8 \); \( \text{s} = 4+2=6 \).
• Итерация 4: Условие: \( (6+2)^2 = 64 < 125 \) (Истина). \( \text{n} = 8 \cdot 2 = 16 \); \( \text{s} = 6+2=8 \).
• Итерация 5: Условие: \( (8+2)^2 = 100 < 125 \) (Истина). \( \text{n} = 16 \cdot 2 = 32 \); \( \text{s} = 8+2=10 \).
• Итерация 6: Условие: \( (10+2)^2 = 144 < 125 \) (Ложь). Цикл завершен.

Результат: Переменная \( \text{n} \) примет значение \( 32 \).

Программа (вложенные циклы):

var s, i, j: integer;begins:=0;for i:=1 to 3 do  for j:=1 to 4 do    s:=s+i+j;writeln(s)end.

Внешний цикл \( \text{i} \) выполняется 3 раза (1, 2, 3). Внутренний цикл \( \text{j} \) выполняется 4 раза (1, 2, 3, 4) для каждого значения \( \text{i} \). Всего \( 3 \cdot 4 = 12 \) итераций.

Переменная \( \text{s} \) накапливает сумму \( \sum_{\text{i}=1}^{3} \sum_{\text{j}=1}^{4} (\text{i}+\text{j}) \).

Для каждого \( \text{i} \) считается \( \text{i} \cdot 4 \) (т.к. \( \text{j} \) повторяется 4 раза) плюс сумма \( \text{j} \):

\( \sum_{\text{j}=1}^{4} \text{j} = 1+2+3+4 = 10 \).

Общая сумма:

\( \text{i}=1 \): \( (1+1)+(1+2)+(1+3)+(1+4) = 4 + 10 = 14 \)

\( \text{i}=2 \): \( (2+1)+(2+2)+(2+3)+(2+4) = 8 + 10 = 18 \)

\( \text{i}=3 \): \( (3+1)+(3+2)+(3+3)+(3+4) = 12 + 10 = 22 \)

Итоговое \( \text{s} = 14 + 18 + 22 = 54 \).

Программа:

var n, s: integer;beginn:=0;s:=1000;while s<=100 dobegins:=s-2;n:=n+1;end;write(n)end.

Начальное значение \( \text{s} = 1000 \). Условие цикла \( \text{s} \le 100 \) ложно с самого начала. Следовательно, тело цикла не будет выполнено ни разу.

Результат: Будет выведено начальное значение переменной \( \text{n} \), то есть \( 0 \).

Программа:

var x, m, n: integer;beginreadln(x);m:=0; n:=1;while x>0 dobeginif x mod 10>n then n:=x mod 10;m:=m+1;x:=x div 10;end;writeln(m); write(n);end.

Функции переменных:

• Переменная \( \text{m} \) (\( \text{m}:=\text{m}+1 \)) подсчитывает количество цифр в числе \( \text{x} \).
• Переменная \( \text{n} \) (\( \text{if x mod 10 > n then n:=x mod 10} \)) находит максимальную цифру в числе \( \text{x} \) (т.к. \( \text{n} \) инициализировано \( 1 \)).

Если программа выводит 4 и 8:

• \( \text{m}=4 \): Число \( \text{x} \) должно быть четырехзначным (от 1000 до 9999).
• \( \text{n}=8 \): Максимальная цифра в числе \( \text{x} \) должна быть \( 8 \).

Наименьшее число \( \text{x} \): Число должно быть четырехзначным и содержать цифру 8. Для наименьшего числа нужно поставить наименьшие возможные цифры в старшие разряды и цифру 8 как можно правее. Наименьшая цифра в 1-м разряде: 1. Остальные минимальные: 0. \(\text{x} = 1008\).

Наибольшее число \( \text{x} \): Число должно быть четырехзначным и содержать цифру 8. Для наибольшего числа нужно поставить наибольшие возможные цифры в старшие разряды (не более 8, т.к. 9 больше 8). Наибольшие цифры: 8. \(\text{x} = 8888\).

Количество чисел \( \text{x} \):

Общее количество четырехзначных чисел \( (9000) \) минус количество четырехзначных чисел, в которых максимальная цифра меньше \( 8 \) (т.е. максимальная цифра \( \le 7 \)).

• Общее количество 4-значных чисел: \( 9000 \).
• Количество 4-значных чисел, составленных только из цифр \( \{1, \dots, 7\} \): \( 7 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 = 3584 \) (Первая цифра не 0).
• Количество 4-значных чисел, составленных только из цифр \( \{1, \dots, 8\} \): \( 8 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 5832 \).
• Количество 4-значных чисел, в которых максимальная цифра \( \le 7 \): \( (7 \cdot 8^3) - 0 = 3584 \).
• Количество 4-значных чисел, в которых максимальная цифра \( \le 8 \): \( (8 \cdot 9^3) - 0 = 5832 \).

Количество чисел с максимальной цифрой, равной 8: (Числа с максимальной \( \le 8 \)) - (Числа с максимальной \( \le 7 \))

\( 5832 - 3584 = 2248 \).

Всего существует 2248 таких чисел \( \text{x} \).

Программа на Pascal:

var i: integer;begin  for i:=100 to 998 do  begin    if i mod 2 = 0 then      writeln(i);  end;end.

Программа на Pascal:

var n, i: integer;  sum_sqr: longint; // longint для предотвращения переполненияbegin  write('Введите натуральное число n: ');  readln(n);  sum_sqr := 0;  for i:=1 to n do  begin    sum_sqr := sum_sqr + sqr(i);  end;  writeln('Сумма квадратов: ', sum_sqr);end.

Программа на Pascal:

var number, digit, current_digit: integer;  found: boolean;begin  write('Введите неотрицательное число: ');  readln(number);  write('Введите искомую цифру (0-9): ');  readln(digit);  found := false;  if number = 0 then // Обработка случая 0    if digit = 0 then found := true;  while number > 0 do  begin    current_digit := number mod 10;    if current_digit = digit then    begin      found := true;      break; // Оптимизация: прекращаем поиск    end;    number := number div 10;  end;  if found then    writeln('Цифра входит в число.')  else    writeln('Цифра не входит в число.');end.

Программа на Pascal:

var n: integer;  nd: string;begin  write('Введите натуральное число n: ');  readln(n);  nd := '';  if n = 0 then // Обработка случая 0    nd := '0';  else  begin    while n > 0 do    begin      // Остаток от деления на 3 - следующая троичная цифра      // Добавляем цифру в начало строки (конкатенация)      nd := chr(ord('0') + (n mod 3)) + nd;      n := n div 3;    end;  end;  writeln('Число в троичной системе: ', nd);end.

Случай 1 (Квадрат):

Закрашенная область — квадрат с центром в начале координат и вершинами \( (\pm 3, \pm 3) \). Условие принадлежности: \( -3 \le \text{x} \le 3 \) и \( -3 \le \text{y} \le 3 \).

// Случай 1: Квадратif (x >= -3) and (x <= 3) and (y >= -3) and (y <= 3) then  writeln('Да')else  writeln('Нет');

Случай 2 (Кольцо):

Закрашенная область — кольцо между двумя окружностями с центром в начале координат. Внутренний радиус \( r_1 = 2 \), внешний радиус \( r_2 = 3 \). Условие принадлежности: \( r_1^2 \le \text{x}^2 + \text{y}^2 \le r_2^2 \), то есть \( 4 \le \text{x}^2 + \text{y}^2 \le 9 \).

// Случай 2: Кольцоif (sqr(x) + sqr(y) >= 4) and (sqr(x) + sqr(y) <= 9) then  writeln('Да')else  writeln('Нет');

Объединенная программа:

var x, y: real;  choice: integer;begin  write('Введите координаты точки x и y: ');  readln(x, y);  write('Выберите область (1 - Квадрат, 2 - Кольцо): ');  readln(choice);  if choice = 1 then // Квадрат    if (x >= -3) and (x <= 3) and (y >= -3) and (y <= 3) then      writeln('Да')    else      writeln('Нет')  else if choice = 2 then // Кольцо    if (sqr(x) + sqr(y) >= 4) and (sqr(x) + sqr(y) <= 9) then      writeln('Да')    else      writeln('Нет')  else    writeln('Неверный выбор области');end.

Пусть искомое двузначное число \( \text{N} \) имеет цифры \( \text{a} \) (десятки) и \( \text{b} \) (единицы). Тогда \( \text{N} = 10 \cdot \text{a} + \text{b} \), где \( \text{a} \in [1, 9] \) и \( \text{b} \in [0, 9] \).

Условие: (Сумма цифр) + (Произведение цифр) = (Само число).

Математическое выражение условия:

\( (\text{a} + \text{b}) + (\text{a} \cdot \text{b}) = 10 \cdot \text{a} + \text{b} \)

Упрощаем уравнение:

\( \text{a} + \text{b} + \text{a} \cdot \text{b} = 10 \cdot \text{a} + \text{b} \)

\( \text{a} \cdot \text{b} = 10 \cdot \text{a} - \text{a} \)

\( \text{a} \cdot \text{b} = 9 \cdot \text{a} \)

Так как \( \text{a} \in [1, 9] \) (не равно 0), можем разделить обе части на \( \text{a} \):

\( \text{b} = 9 \)

Единственное возможное значение для цифры единиц \( \text{b} \) — это \( 9 \). Цифра десятков \( \text{a} \) может быть любой от 1 до 9.

Возможные варианты кода: \( 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99 \). (Всего 9 вариантов).

Программа для перебора (для демонстрации метода):

var a, b, number: integer;begin  writeln('Возможные варианты кода:');  for a:=1 to 9 do // Цифра десятков    for b:=0 to 9 do // Цифра единиц    begin      number := 10*a + b;      if (a + b + a*b) = number then        writeln(number);    end;end.