Краткое содержание: Параграф § 1.3 / Информатика 8 класс

Позиционные системы счисления, связанные с двоичной

В данном материале рассматриваются позиционные системы счисления, которые имеют непосредственную связь с двоичной системой (основание 2). К ним относятся восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричная система является позиционной системой счисления с основанием 8. Для записи чисел в ней используются цифры от 0 до 7. Связь с двоичной системой основана на том, что \( 8 = 2^3 \). Это означает, что каждая восьмеричная цифра может быть представлена в виде уникальной двоичной триады — последовательности из трёх двоичных цифр (0 или 1).

Перевод из восьмеричной в десятичную систему осуществляется через развёрнутую запись числа, которая имеет вид:

\( a_{n-1}a_{n-2}...a_1a_0{_8} = a_{n-1} \cdot 8^{n-1} + a_{n-2} \cdot 8^{n-2} + ... + a_1 \cdot 8^1 + a_0 \cdot 8^0 \).

Перевод целого числа из десятичной в восьмеричную систему производится методом последовательного деления на основание 8. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получен неполный частное, равное нулю. Результат формируется путём записи полученных остатков в обратном порядке (начиная с последнего).

Перевод целого числа из восьмеричной в двоичную и наоборот упрощается благодаря связи \( 8 = 2^3 \):

• Восьмеричная в двоичную: Каждая восьмеричная цифра заменяется соответствующей ей двоичной триадой.
• Двоичная в восьмеричную: Двоичное число разбивается на триады (группы по 3 цифры) справа налево, при необходимости дополняя незначащими нулями слева, и каждая триада заменяется соответствующей восьмеричной цифрой.

Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система является позиционной системой счисления с основанием 16. В ней используются 16 символов: цифры от 0 до 9 и первые шесть заглавных букв латинского алфавита (A, B, C, D, E, F), которые соответствуют десятичным значениям от 10 до 15.

Связь с двоичной системой основана на том, что \( 16 = 2^4 \). Следовательно, каждая шестнадцатеричная цифра может быть представлена в виде уникальной двоичной тетрады — последовательности из четырёх двоичных цифр.

Перевод из шестнадцатеричной в десятичную систему также осуществляется через развёрнутую запись числа, аналогично восьмеричной системе, но с основанием 16.

Перевод целого числа из десятичной в шестнадцатеричную систему выполняется методом последовательного деления на основание 16 с записью остатков в обратном порядке.

Перевод целого числа из шестнадцатеричной в двоичную и наоборот также упрощён благодаря связи \( 16 = 2^4 \):

• Шестнадцатеричная в двоичную: Каждая шестнадцатеричная цифра заменяется соответствующей ей двоичной тетрадой.
• Двоичная в шестнадцатеричную: Двоичное число разбивается на тетрады (группы по 4 цифры) справа налево, при необходимости дополняя незначащими нулями слева, и каждая тетрада заменяется соответствующей шестнадцатеричной цифрой.

Таким образом, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления считаются родственными двоичной, поскольку перевод чисел между ними и двоичной системой осуществляется простым методом замены цифр на соответствующие триады или тетрады, что исключает необходимость прямого перевода через десятичную систему.