Краткое содержание: Параграф § 2.1 / Информатика 8 класс

Что такое высказывание?

Высказывание в контексте математической логики – это любое предложение, сформулированное на любом языке, о котором можно однозначно утверждать, истинно оно или ложно. То есть, высказывание обладает свойством истинности или ложности, но не может быть одновременно и истинным, и ложным. Например, утверждения «Великий русский учёный М. В. Ломоносов родился в 1711 году» и «Два плюс шесть равно восьми» являются истинными высказываниями. Предложение «Зимой воробьи впадают в спячку» является ложным высказыванием. Вопросительные, побудительные предложения, а также предложения, содержащие переменные, истинность которых не определена, не являются высказываниями.

Высказывательная форма

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, содержащее одну или несколько переменных, которое превращается в высказывание, когда все переменные получают конкретные значения. Примером может служить предложение «Число \( X \) меньше 12». Если заменить \( X \) на 5, получается истинное высказывание «Число 5 меньше 12». Если же \( X \) заменить на 12, то получается ложное высказывание «Число 12 меньше 12».

Простые и составные высказывания

Высказывания, которые описывают отношение между двумя объектами или свойство одного объекта, называются простыми или элементарными. Например: «\( Na \) — металл» (описывает свойство объекта \( Na \)) или высказывание «\( 3 + 5 = 2 \cdot 4 \)» (отражает отношение между числами). Составное высказывание (или сложное) — это высказывание, построенное из одного или нескольких простых высказываний с помощью логических связок, таких как НЕ (отрицание), И (конъюнкция), ИЛИ (дизъюнкция).

Логическая связка НЕ (Отрицание)

Отрицание высказывания \( A \) (обозначается как «НЕ \( A \)» или \( \overline{A} \)) всегда имеет истинность, противоположную истинности исходного высказывания \( A \). Если простое высказывание истинно, то составное высказывание со связкой НЕ — ложно. Например, если высказывание «Число 5 является чётным» ложно, то составное высказывание «Число 5 НЕ является чётным» истинно. В русском языке отрицание часто формулируется с помощью оборота «Неверно, что…» или путем добавления частицы «не» к глаголу или предикативной части предложения.

Логическая связка И (Конъюнкция)

Составное высказывание со связкой И (обозначается как \( A \land B \) или «\( A \) И \( B \)») истинно тогда и только тогда, когда истинны оба входящие в него простые высказывания. В остальных случаях оно ложно. Например, высказывание «Число 324 делится на 7 И на 3» будет ложным, так как 324 не делится на 7, хотя и делится на 3. Высказывание «Число 324 делится на 5 И на 2» ложно, так как 324 делится на 2, но не делится на 5.

Логическая связка ИЛИ (Дизъюнкция)

Составное высказывание со связкой ИЛИ (обозначается как \( A \lor B \) или «\( A \) ИЛИ \( B \)») ложно тогда и только тогда, когда ложны оба входящие в него простые высказывания. Если хотя бы одно из простых высказываний истинно, то составное высказывание ИЛИ истинно. Это называется неисключающее ИЛИ (в отличие от исключающего «либо… либо…»). Например, высказывание «Число 324 делится на 7 ИЛИ на 3» истинно, потому что 324 делится на 3. Высказывание «Число 324 делится на 7 ИЛИ на 5» ложно, так как 324 не делится ни на 7, ни на 5.

Заключение

Логические связи И, ИЛИ, НЕ являются основой для построения сложных логических выражений и составляют фундаментальные элементы алгебры логики, которая, в свою очередь, является базой для информатики, программирования и устройства вычислительной техники. Основоположниками этой области знаний являются Джордж Буль (разработал основы алгебры логики) и Клод Шеннон (применил алгебру логики в вычислительной технике).