Краткое содержание: Параграф § 1.2 / Информатика 8 класс

Основы двоичной системы счисления

Двоичная система счисления представляет собой позиционную систему с основанием 2. Для записи чисел в этой системе используются всего две цифры: 0 и 1, что составляет её алфавит. Позиционная система означает, что значение каждой цифры (разряда) зависит от её места в записи числа. Для работы с двоичными числами необходимо понимать «вес» двоичных разрядов. Вес разряда определяется как степень числа 2, где показатель степени соответствует номеру разряда, начиная с нулевого справа: \( 2^0, 2^1, 2^2, 2^3, \dots, 2^n \). Например, в числе \( 10011_2 \), крайний справа «1» имеет вес \( 2^0 = 1 \), следующая «1» — вес \( 2^1 = 2 \), «0» — вес \( 2^2 = 4 \), «0» — вес \( 2^3 = 8 \), и крайняя слева «1» — вес \( 2^4 = 16 \).

Перевод двоичных чисел в десятичную систему

Перевод двоичного числа в привычную нам десятичную систему счисления основан на его развёрнутой форме записи. Двоичное число представляется как сумма произведений цифр числа на веса соответствующих разрядов. Фактически, для перевода достаточно вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в развёрнутой форме записи двоичного числа.

• Например, для перевода числа \( 10011_2 \) в десятичную систему: \( 10011_2 = 1 \cdot 2^4 + 0 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \).
• Сокращённая форма, учитывающая только единицы: \( 10011_2 = 2^4 + 2^1 + 2^0 = 16 + 2 + 1 = 19_{10} \).

Перевод целых чисел из десятичной системы в двоичную

Для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления используется метод последовательного деления на основание 2 с записью остатков.

• Необходимо последовательно делить исходное число и получаемые неполные частные на 2 до тех пор, пока не будет получено неполное частное, равное нулю.
• Представление исходного числа в двоичной системе счисления формируется путём последовательной записи полученных остатков, начиная с последнего.
• Например, перевод \( 11_{10} \):
  • \( 11 : 2 = 5 \) (ост. 1)
  • \( 5 : 2 = 2 \) (ост. 1)
  • \( 2 : 2 = 1 \) (ост. 0)
  • \( 1 : 2 = 0 \) (ост. 1)
• Записывая остатки в обратном порядке (снизу вверх), получаем \( 11_{10} = 1011_2 \).

Двоичная арифметика

Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по тем же правилам, что и в десятичной, но с учётом того, что в алфавите только 0 и 1.

• Сложение: Основано на простой таблице сложения: \( 0 + 0 = 0 \), \( 0 + 1 = 1 \), \( 1 + 0 = 1 \), \( 1 + 1 = 10_2 \) (0 записываем в текущем разряде, 1 переносим в следующий старший разряд).
• Умножение: Выполняется по обычной схеме, как и в десятичной системе, сводясь к сдвигам множимого и последующему сложению.
• Вычитание: Выполняется «столбиком», включая операцию займа у старшего разряда, где 1 из старшего разряда преобразуется в \( 10_2 \) (то есть в 2) в младшем.
• Деление: Сводится к операциям сравнения и вычитания, оформляется «уголком».

Компьютеры работают с информацией, представленной в двоичном коде, что делает двоичную систему счисления основой современного цифрового окружения. Правильность выполнения двоичных арифметических операций всегда можно проверить, переведя операнды и результат в десятичную систему счисления.