ГДЗ: Упражнение 1009 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде степеней.

\( f(x) = \frac{5x - 2}{x^2} = \frac{5x}{x^2} - \frac{2}{x^2} = \frac{5}{x} - 2x^{-2} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (\frac{5}{x} - 2x^{-2}) dx = 5\ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = 5\ln|x| - 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} = 5\ln|x| + \frac{2}{x} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{1}^{2} f(x) dx = F(2) - F(1) \)

Вычисляем \( F(2) \):

\( F(2) = 5\ln|2| + \frac{2}{2} = 5\ln 2 + 1 \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = 5\ln|1| + \frac{2}{1} = 5 \cdot 0 + 2 = 2 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{1}^{2} f(x) dx = (5\ln 2 + 1) - 2 = 5\ln 2 - 1 \)

Ответ: \( 5\ln 2 - 1 \)

Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель и перепишем функцию в виде степеней.

\( f(x) = \frac{3x - 1}{\sqrt{x}} = \frac{3x}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 3x^{1 - \frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} = 3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

\( F(x) = \int (3x^{\frac{1}{2}} - x^{-\frac{1}{2}}) dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} - \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}} - 2x^{\frac{1}{2}} = 2x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{1}^{3} f(x) dx = F(3) - F(1) \)

Вычисляем \( F(3) \):

\( F(3) = 2 \cdot 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = 2 \cdot 1\sqrt{1} - 2\sqrt{1} = 2 - 2 = 0 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{1}^{3} f(x) dx = 4\sqrt{3} - 0 = 4\sqrt{3} \)

Ответ: \( 4\sqrt{3} \)

Шаг 1: Перепишем функцию в виде степеней.

\( f(x) = 4(x+2)^{-\frac{1}{2}} \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Используем правило для интегрирования \( (kx+b)^n \). Здесь \( k=1 \).

\( F(x) = \int 4(x+2)^{-\frac{1}{2}} dx = 4 \cdot \frac{(x+2)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = 4 \cdot \frac{(x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 8\sqrt{x+2} \)

Шаг 3: Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( \int_{2}^{7} f(x) dx = F(7) - F(2) \)

Вычисляем \( F(7) \):

\( F(7) = 8\sqrt{7+2} = 8\sqrt{9} = 8 \cdot 3 = 24 \)

Вычисляем \( F(2) \):

\( F(2) = 8\sqrt{2+2} = 8\sqrt{4} = 8 \cdot 2 = 16 \)

Шаг 4: Вычисление.

\( \int_{2}^{7} f(x) dx = 24 - 16 = 8 \)

Ответ: \( 8 \)