ГДЗ: Упражнение 1012 - § 57 (Вычисление интегралов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Вычисление определенного интеграла в левой части равенства.

Подынтегральная функция: \( f(x) = b - 4x \). Переменная интегрирования \( x \), а \( b \) считается константой.

Находим первообразную \( F(x) \):

\( F(x) = \int (b - 4x) dx = bx - 4 \cdot \frac{x^2}{2} = bx - 2x^2 \)

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

\( \int_{1}^{b} (b - 4x) dx = F(b) - F(1) \)

Вычисляем \( F(b) \): \( F(b) = b(b) - 2(b)^2 = b^2 - 2b^2 = -b^2 \)

Вычисляем \( F(1) \): \( F(1) = b(1) - 2(1)^2 = b - 2 \)

Левая часть равенства (ЛЧ): \( -b^2 - (b - 2) = -b^2 - b + 2 \)

Шаг 2: Составление и решение уравнения.

Приравниваем ЛЧ к правой части (ПЧ) \( 6 - 5b \):

\( -b^2 - b + 2 = 6 - 5b \)

Переносим все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 0 = b^2 + b - 5b + 6 - 2 \)

\( 0 = b^2 - 4b + 4 \)

Шаг 3: Нахождение корней уравнения.

Полученное квадратное уравнение \( b^2 - 4b + 4 = 0 \) является полным квадратом:

\( (b - 2)^2 = 0 \)

Единственный корень: \( b = 2 \)

Шаг 4: Проверка условия.

По условию задачи, необходимо найти числа \( b > 1 \).

Найденное значение \( b=2 \) удовлетворяет условию \( 2 > 1 \).

Ответ: \( b = 2 \)