Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 10 / Задание 171

ГДЗ: Упражнение 171 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 63, 67, 68, 69
Глава: Глава 2
Параграф: § 10 - Иррациональные неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

171 упражнение:

Решить неравенство.

1) \( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} < \sqrt{x} \)

Решение иррационального неравенства

Перепишем: \( \sqrt{x + 1} < \sqrt{x} + \sqrt{x - 1} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x + 1 \ge 0 \implies x \ge -1 \).
  • \( x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1 \).
  • \( x \ge 0 \).
  • ОДЗ: \( x \ge 1 \).

2. Возведение в квадрат

  • Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x + 1})^2 < (\sqrt{x} + \sqrt{x - 1})^2 \).
  • \( x + 1 < x + 2\sqrt{x(x - 1)} + (x - 1) \)
  • \( x + 1 < 2x - 1 + 2\sqrt{x^2 - x} \)
  • Упрощаем: \( 2 - x < 2\sqrt{x^2 - x} \).

3. Решение неравенства \( 2 - x < 2\sqrt{x^2 - x} \) в ОДЗ \( x \ge 1 \)

  • Это неравенство вида \( g(x) < \sqrt{f(x)} \). Равносильно объединению двух систем.
  • Система I (левая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} 2 - x < 0, \\ x^2 - x \ge 0. \end{cases} \]
  • Из первого: \( x > 2 \).
  • Из второго: \( x(x - 1) \ge 0 \implies x \le 0 \) или \( x \ge 1 \).
  • Пересечение: \( x > 2 \) (так как \( (2; +\infty) \) полностью входит в \( x \ge 1 \)).
  • Система II (левая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ (g(x))^2 < f(x). \end{cases} \implies \begin{cases} 2 - x \ge 0, \\ (2 - x)^2 < 4(x^2 - x). \end{cases} \]
  • Из первого: \( x \le 2 \).
  • Из второго: \( 4 - 4x + x^2 < 4x^2 - 4x \) \( \implies 4 < 3x^2 \) или \( x^2 > \frac{4}{3} \).
  • Следовательно: \( x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \) или \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \). (\( \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1,15 \)).
  • Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ \( x \ge 1 \): \( 1 \le x \le 2 \) и \( (x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \text{ или } x > \frac{2}{\sqrt{3}}) \).
  • Пересечение: \( \frac{2}{\sqrt{3}} < x \le 2 \).

4. Объединение решений

  • Объединяем решения: \( (2; +\infty) \cup (\frac{2}{\sqrt{3}}; 2] \).
  • Итоговый ответ: \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \).

Ответ: \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \) или \( (\frac{2}{\sqrt{3}}; +\infty) \).

2) \( \sqrt{x + 3} < \sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x} \)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{A} < \sqrt{B} + \sqrt{C} \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3 \).
  • \( 7 - x \ge 0 \implies x \le 7 \).
  • \( 10 - x \ge 0 \implies x \le 10 \).
  • ОДЗ: \( -3 \le x \le 7 \).

2. Возведение в квадрат

  • Обе части неравенства неотрицательны в ОДЗ, возводим в квадрат: \( (\sqrt{x + 3})^2 < (\sqrt{7 - x} + \sqrt{10 - x})^2 \).
  • \( x + 3 < (7 - x) + (10 - x) + 2\sqrt{(7 - x)(10 - x)} \)
  • \( x + 3 < 17 - 2x + 2\sqrt{70 - 17x + x^2} \)
  • Упрощаем: \( 3x - 14 < 2\sqrt{x^2 - 17x + 70} \).

3. Решение неравенства \( 3x - 14 < 2\sqrt{x^2 - 17x + 70} \) в ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \)

  • Это неравенство вида \( g(x) < 2\sqrt{f(x)} \). Равносильно объединению двух систем.
  • Система I (левая часть отрицательна): \[ \begin{cases} 3x - 14 < 0, \\ x^2 - 17x + 70 \ge 0. \end{cases} \]
  • Из первого: \( 3x < 14 \implies x < \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
  • Из второго: \( x^2 - 17x + 70 = 0 \). Корни \( x_1 = 7 \), \( x_2 = 10 \) (по Виету). \( x^2 - 17x + 70 \ge 0 \implies x \le 7 \) или \( x \ge 10 \).
  • Находим пересечение с ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \): \( -3 \le x < \frac{14}{3} \). (Так как \( x \le 7 \) входит в ОДЗ). (Это первая часть ответа).
  • Система II (левая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} 3x - 14 \ge 0, \\ (3x - 14)^2 < 4(x^2 - 17x + 70). \end{cases} \]
  • Из первого: \( x \ge \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
  • Из второго: \( 9x^2 - 84x + 196 < 4x^2 - 68x + 280 \) \( \implies 5x^2 - 16x - 84 < 0 \).
  • Корни \( 5x^2 - 16x - 84 = 0 \): \( D = (-16)^2 - 4(5)(-84) = 256 + 1680 = 1936 \). \( \sqrt{1936} = 44 \). \( x_{1,2} = \frac{16 \pm 44}{10} \). \( x_1 = -2,8 \), \( x_2 = 6 \).
  • Парабола ветвями вверх, поэтому решение неравенства \( 5x^2 - 16x - 84 < 0 \): \( -2,8 < x < 6 \).
  • Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ \( -3 \le x \le 7 \): \( \frac{14}{3} \le x \le 7 \) и \( -2,8 < x < 6 \). \( \frac{14}{3} \approx 4,67 \).
  • Пересечение: \( \frac{14}{3} \le x < 6 \). (Это вторая часть ответа).

4. Объединение решений

  • Объединяем решения: \( [-3; \frac{14}{3}) \cup [\frac{14}{3}; 6) \).
  • Итоговый ответ: \( [-3; 6) \).

Ответ: \( [-3; 6) \).

Что применять при решении

Определение иррационального неравенства
Неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала), называется иррациональным неравенством.
\( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Область определения иррационального неравенства
Подкоренное выражение в иррациональном неравенстве, содержащем корень четной степени, должно быть неотрицательным. То есть, если есть выражение вида \( \sqrt[2n]{f(x)} \), то должно выполняться условие \( f(x) \ge 0 \).
\( \sqrt[2n]{f(x)} \implies f(x) \ge 0 \)
Равносильные преобразования при решении иррациональных неравенств
1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень всегда приводит к равносильному неравенству.
2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень приводит к равносильному неравенству только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе неравенств:
\( \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2. \end{cases} \)
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно объединению двух систем неравенств:
\[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \cup \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \]

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 10

165 166 167 168 169 170 171 172 173 174
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.