Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 10 / Задание 174

ГДЗ: Упражнение 174 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 63, 67, 68, 69
Глава: Глава 2
Параграф: § 10 - Иррациональные неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

174 упражнение:

Решить неравенство:

1) \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3 \)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \implies (x - 1)(x - 2) \ge 0 \).
  • ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).

2. Решение через две системы

  • Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3 < 0, \\ x^2 - 3x + 2 \ge 0. \end{cases} \]
  • Из первого неравенства: \( x < -3 \).
  • Из второго неравенства (ОДЗ): \( x \le 1 \) или \( x \ge 2 \).
  • Пересечение: \( x < -3 \) (так как \( (-\infty; -3) \) полностью входит в \( x \le 1 \)). (Это первая часть ответа).
  • Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} x + 3 \ge 0, \\ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2. \end{cases} \]
  • Из первого неравенства: \( x \ge -3 \).
  • Из второго неравенства: \( x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9 \) \( \implies -3x + 2 > 6x + 9 \) \( \implies -7 > 9x \) или \( x < -\frac{7}{9} \).
  • Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ: \( x \ge -3 \), \( x < -\frac{7}{9} \) и \( (x \le 1 \text{ или } x \ge 2) \).
  • Пересечение: \( [-3; -\frac{7}{9}) \) (так как \( -3 \le x < -\frac{7}{9} \) полностью входит в \( x \le 1 \)). (Это вторая часть ответа).

3. Объединение решений

  • Объединяем решения: \( (-\infty; -3) \cup [-3; -\frac{7}{9}) \).
  • Итоговый ответ: \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \).

Ответ: \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \).

2) \( \sqrt{2x^2 - 7x - 4} > -x - \frac{1}{4} \)

Решение иррационального неравенства

Неравенство вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \). Используем схему объединения двух систем.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( 2x^2 - 7x - 4 \ge 0 \). Корни \( 2x^2 - 7x - 4 = 0 \): \( D = 49 - 4(2)(-4) = 81 \). \( x_{1,2} = \frac{7 \pm 9}{4} \). \( x_1 = -0,5 \), \( x_2 = 4 \).
  • ОДЗ: \( x \in (-\infty; -0,5] \cup [4; +\infty) \).

2. Решение через две системы

  • Система I (правая часть отрицательна): \[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \implies \begin{cases} -x - \frac{1}{4} < 0, \\ 2x^2 - 7x - 4 \ge 0. \end{cases} \]
  • Из первого неравенства: \( -\frac{1}{4} < x \) или \( x > -0,25 \).
  • Из второго неравенства (ОДЗ): \( x \le -0,5 \) или \( x \ge 4 \).
  • Пересечение: \( x \ge 4 \) (так как \( (-0,25; +\infty) \cap ( (-\infty; -0,5] \cup [4; +\infty) ) = [4; +\infty) \)). (Это первая часть ответа).
  • Система II (правая часть неотрицательна): \[ \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \implies \begin{cases} -x - \frac{1}{4} \ge 0, \\ 2x^2 - 7x - 4 > (-x - \frac{1}{4})^2. \end{cases} \]
  • Из первого неравенства: \( -x \ge \frac{1}{4} \implies x \le -0,25 \).
  • Из второго неравенства: \( 2x^2 - 7x - 4 > x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16} \) \( \implies x^2 - \frac{15}{2}x - 4 - \frac{1}{16} > 0 \) \( \implies x^2 - 7,5x - 4,0625 > 0 \). \( 16x^2 - 120x - 65 > 0 \).
  • Корни \( 16x^2 - 120x - 65 = 0 \): \( D = 120^2 - 4(16)(-65) = 14400 + 4160 = 18560 \). \( \sqrt{18560} \approx 136,249 \). \( x_{1,2} = \frac{120 \pm \sqrt{18560}}{32} \). \( x_1 \approx -0,5078 \), \( x_2 \approx 8,0078 \).
  • Решение неравенства: \( x < x_1 \) или \( x > x_2 \).
  • Находим пересечение условий Системы II с ОДЗ: \( x \le -0,25 \), \( (x \le -0,5 \text{ или } x \ge 4) \), и \( (x < -0,5078 \text{ или } x > 8,0078) \).
  • Пересечение: \( x < x_1 \) (так как \( -0,5078 < -0,5 < -0,25 \) и \( x_1 \le -0,5 \) выполняется автоматически). \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \). (Это вторая часть ответа).

3. Объединение решений

  • Объединяем решения: \( [4; +\infty) \cup (-\infty; x_1) \).
  • Итоговый ответ: \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \cup [4; +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; \frac{120 - \sqrt{18560}}{32}) \cup [4; +\infty) \).

Что применять при решении

Определение иррационального неравенства
Неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала), называется иррациональным неравенством.
\( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Область определения иррационального неравенства
Подкоренное выражение в иррациональном неравенстве, содержащем корень четной степени, должно быть неотрицательным. То есть, если есть выражение вида \( \sqrt[2n]{f(x)} \), то должно выполняться условие \( f(x) \ge 0 \).
\( \sqrt[2n]{f(x)} \implies f(x) \ge 0 \)
Равносильные преобразования при решении иррациональных неравенств
1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень всегда приводит к равносильному неравенству.
2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень приводит к равносильному неравенству только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе неравенств:
\( \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2. \end{cases} \)
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно объединению двух систем неравенств:
\[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \cup \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \]

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 10

165 166 167 168 169 170 171 172 173 174
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.