Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 10 / Задание 173

ГДЗ: Упражнение 173 - § 10 (Иррациональные неравенства) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 63, 67, 68, 69
Глава: Глава 2
Параграф: § 10 - Иррациональные неравенства
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

173 упражнение:

Решить графически неравенство.

1) \( \sqrt{x} \le 2x \)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \le 2x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит ниже или совпадает с графиком функции } y_2 = 2x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

  • Решим уравнение \( \sqrt{x} = 2x \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = 4x^2 \implies 4x^2 - x = 0 \implies x(4x - 1) = 0 \).
  • Корни: \( x = 0 \) и \( x = \frac{1}{4} \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}) \).

3. Анализ неравенства

  • На интервале \( [0; \frac{1}{4}] \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит выше (например, \( x = \frac{1}{9} \): \( \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \), \( 2\cdot\frac{1}{9} = \frac{2}{9} \) — \( \frac{1}{3} > \frac{2}{9} \)).
  • На интервале \( [\frac{1}{4}; +\infty) \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже или совпадает (например, \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 \), \( 2\cdot 1 = 2 \) — \( 1 \le 2 \)).

4. Вывод

  • Неравенство \( \sqrt{x} \le 2x \) выполняется при \( x \ge \frac{1}{4} \) и в точке \( x=0 \).

Ответ: \( x = 0 \text{ и } x \ge \frac{1}{4} \) или \( \{0\} \cup [\frac{1}{4}; +\infty) \).

2) \( \sqrt{x} > 0,5x \)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} > 0,5x \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит строго выше графика функции } y_2 = 0,5x \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

  • Решим уравнение \( \sqrt{x} = 0,5x \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = 0,25x^2 \implies 0,25x^2 - x = 0 \implies x(0,25x - 1) = 0 \).
  • Корни: \( x = 0 \) и \( 0,25x = 1 \implies x = 4 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (4, 2) \).

3. Анализ неравенства

  • График \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит строго выше графика \( y_2 = 0,5x \) на интервале \( (0; 4) \) (например, \( x = 1 \): \( \sqrt{1} = 1 \), \( 0,5\cdot 1 = 0,5 \) — \( 1 > 0,5 \)).
  • В точках \( x = 0 \) и \( x = 4 \) графики совпадают, поэтому эти точки не являются решением строгого неравенства.

4. Вывод

  • Неравенство \( \sqrt{x} > 0,5x \) выполняется при \( 0 < x < 4 \).

Ответ: \( (0; 4) \).

3) \( \sqrt{x} \ge 2x - 1 \)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \ge 2x - 1 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит выше или совпадает с графиком функции } y_2 = 2x - 1 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

  • Решим уравнение \( \sqrt{x} = 2x - 1 \). ОДЗ: \( x \ge 0 \). Дополнительное условие: \( 2x - 1 \ge 0 \implies x \ge 0,5 \).
  • Возводим в квадрат: \( x = (2x - 1)^2 \implies x = 4x^2 - 4x + 1 \).
  • \( 4x^2 - 5x + 1 = 0 \). Корни \( x_1 = 1 \), \( x_2 = \frac{1}{4} \) (по Виету для приведенного \( x^2 - \frac{5}{4}x + \frac{1}{4} = 0 \)).
  • Учитывая условие \( x \ge 0,5 \), подходит только \( x = 1 \). Точка пересечения: \( (1, 1) \).

3. Анализ неравенства

  • Рассмотрим интервалы в ОДЗ \( x \ge 0 \):
  • Интервал \( [0; 0,5) \): Правая часть \( y_2 = 2x - 1 \) отрицательна. Так как \( y_1 = \sqrt{x} \ge 0 \), то \( y_1 \ge y_2 \) автоматически. Решение: \( [0; 0,5) \).
  • Интервал \( [0,5; +\infty) \): Обе части неотрицательны. График \( y_1 \) находится выше или совпадает с \( y_2 \) до точки пересечения \( x = 1 \). \( \sqrt{x} \ge 2x - 1 \) при \( 0,5 \le x \le 1 \).

4. Вывод

  • Объединяем решения: \( [0; 0,5) \cup [0,5; 1] \).
  • Итоговый ответ: \( [0; 1] \).

Ответ: \( [0; 1] \).

4) \( \sqrt{x} \ge x^2 \)

Графическое решение неравенства \( \sqrt{x} \ge x^2 \)

Неравенство равносильно условию: \( \text{график функции } y_1 = \sqrt{x} \text{ лежит выше или совпадает с графиком функции } y_2 = x^2 \).

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

  • \( x \ge 0 \).

2. Точки пересечения

  • Решим уравнение \( \sqrt{x} = x^2 \). Возводим в квадрат (при \( x \ge 0 \)): \( x = x^4 \implies x^4 - x = 0 \implies x(x^3 - 1) = 0 \).
  • Корни: \( x = 0 \) и \( x^3 = 1 \implies x = 1 \). Точки пересечения: \( (0, 0) \) и \( (1, 1) \).

3. Анализ неравенства

  • На интервале \( [0; 1] \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит выше или совпадает с графиком \( y_2 = x^2 \) (например, \( x = 0,5 \): \( \sqrt{0,5} \approx 0,707 \), \( 0,5^2 = 0,25 \) — \( 0,707 \ge 0,25 \)).
  • На интервале \( [1; +\infty) \) график \( y_1 = \sqrt{x} \) лежит ниже графика \( y_2 = x^2 \) (например, \( x = 4 \): \( \sqrt{4} = 2 \), \( 4^2 = 16 \) — \( 2 < 16 \)).

4. Вывод

  • Неравенство \( \sqrt{x} \ge x^2 \) выполняется при \( 0 \le x \le 1 \).

Ответ: \( [0; 1] \).

Что применять при решении

Определение иррационального неравенства
Неравенство, в котором переменная содержится под знаком корня (радикала), называется иррациональным неравенством.
\( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Область определения иррационального неравенства
Подкоренное выражение в иррациональном неравенстве, содержащем корень четной степени, должно быть неотрицательным. То есть, если есть выражение вида \( \sqrt[2n]{f(x)} \), то должно выполняться условие \( f(x) \ge 0 \).
\( \sqrt[2n]{f(x)} \implies f(x) \ge 0 \)
Равносильные преобразования при решении иррациональных неравенств
1. Возведение обеих частей неравенства в нечетную степень всегда приводит к равносильному неравенству.
2. Возведение обеих частей неравенства в четную степень приводит к равносильному неравенству только в том случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} < g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} < g(x) \) равносильно системе неравенств:
\( \begin{cases} f(x) \ge 0, \\ g(x) > 0, \\ f(x) < (g(x))^2. \end{cases} \)
Схема решения неравенства вида \( \sqrt{f(x)} > g(x) \)
Неравенство \( \sqrt{f(x)} > g(x) \) равносильно объединению двух систем неравенств:
\[ \begin{cases} g(x) < 0, \\ f(x) \ge 0. \end{cases} \cup \begin{cases} g(x) \ge 0, \\ f(x) > (g(x))^2. \end{cases} \]

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 10

165 166 167 168 169 170 171 172 173 174
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.