Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 25 / Задание 456

ГДЗ: Упражнение 456 - § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 135, 137, 138

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 25 - Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

456 упражнение:

Может ли синус (косинус) принимать значения:

1) \( 0,03 \)

Пояснение:

Мы знаем, что для любого угла \( \alpha \), синус и косинус удовлетворяют основному тригонометрическому тождеству \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
Из этого тождества следует, что \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) и \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \).
Поскольку \( \sin^2 \alpha \ge 0 \) и \( \cos^2 \alpha \ge 0 \), то должно выполняться: \( 1 - \cos^2 \alpha \ge 0 \implies \cos^2 \alpha \le 1 \implies |\cos \alpha| \le 1 \).
Аналогично, \( 1 - \sin^2 \alpha \ge 0 \implies \sin^2 \alpha \le 1 \implies |\sin \alpha| \le 1 \).
Таким образом, и синус, и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\).

Проверка значения:

Данное значение равно \( 0,03 \).
Поскольку \( -1 \le 0,03 \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.

Ответ: Может.

2) \( \frac{2}{5} \)

Пояснение:

Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).

Проверка значения:

Данное значение равно \( \frac{2}{5} = 0,4 \).
Поскольку \( -1 \le 0,4 \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.

Ответ: Может.

3) \( \frac{5}{3} \)

Пояснение:

Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).

Проверка значения:

Данное значение равно \( \frac{5}{3} \approx 1,67 \).
Поскольку \( \frac{5}{3} > 1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.

Ответ: Не может.

4) \( -\frac{11}{13} \)

Пояснение:

Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).

Проверка значения:

Данное значение равно \( -\frac{11}{13} \approx -0,85 \).
Поскольку \( -1 \le -\frac{11}{13} \le 1 \), это значение может принимать и синус, и косинус.

Ответ: Может.

5) \( -\frac{13}{11} \)

Пояснение:

Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).

Проверка значения:

Данное значение равно \( -\frac{13}{11} \approx -1,18 \).
Поскольку \( -\frac{13}{11} < -1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.

Ответ: Не может.

6) \( \sqrt{2} \)

Пояснение:

Синус и косинус могут принимать только значения из отрезка \([ -1; 1 ]\), то есть \( |\sin \alpha| \le 1 \) и \( |\cos \alpha| \le 1 \).

Проверка значения:

Данное значение равно \( \sqrt{2} \approx 1,414 \).
Поскольку \( \sqrt{2} > 1 \), это значение не может принимать ни синус, ни косинус.

Ответ: Не может.

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.