Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 25 / Задание 459

ГДЗ: Упражнение 459 - § 25 (Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 135, 137, 138

Глава:	Глава 5
Параграф:	§ 25 - Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
Учебник:	Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор:	Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год:	2025
Издание:

459 упражнение:

По значению одной из тригонометрических функций (\( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \), \( \operatorname{ctg} \alpha \)) найти значения остальных трёх:

1) \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)

Дано: \( \cos \alpha = \frac{5}{13} \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

Формула: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( \frac{5}{13} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} \).
В IV четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{12}{13} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \).

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{12}{13} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{12}{5} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \).

2) \( \sin \alpha = 0,8 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)

Дано: \( \sin \alpha = 0,8 = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \) находится во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)).

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - (0,8)^2} = \pm\sqrt{1 - 0,64} = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 = \pm\frac{3}{5} \).
Во II четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -0,6 = -\frac{3}{5} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{0,8}{-0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-4/3} = -\frac{3}{4} \).

Ответ: \( \cos \alpha = -0,6 \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{4}{3} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{3}{4} \).

3) \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)

Дано: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{8} \), угол \( \alpha \) находится в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)).

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left( \frac{15}{8} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{225}{64}} = \frac{1}{\frac{64 + 225}{64}} = \frac{64}{289} \).
Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17} \).
В III четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \).

Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).

Формула: \( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \).
Подставляем: \( \sin \alpha = \frac{15}{8} \cdot \left( -\frac{8}{17} \right) = -\frac{15}{17} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{15/8} = \frac{8}{15} \).

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{15}{17} \), \( \cos \alpha = -\frac{8}{17} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{8}{15} \).

4) \( \operatorname{ctg} \alpha = -3 \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)

Дано: \( \operatorname{ctg} \alpha = -3 \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).

Шаг 1: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3} \).

Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).

Формула для \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} \).
Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{10}} = \pm\frac{1}{\sqrt{10}} = \pm\frac{\sqrt{10}}{10} \).
В IV четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} \).

Шаг 3: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha \).
Подставляем: \( \cos \alpha = (-3) \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10} \).

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{10}}{10} \), \( \cos \alpha = \frac{3\sqrt{10}}{10} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{3} \).

5) \( \cos \alpha = 0,8 \) и \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)

Дано: \( \cos \alpha = 0,8 = \frac{4}{5} \), угол \( \alpha \) находится в I четверти (\( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \)).

Шаг 1: Находим \( \sin \alpha \).

Формула: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{1 - (0,8)^2} = \pm\sqrt{1 - 0,64} = \pm\sqrt{0,36} = \pm 0,6 = \pm\frac{3}{5} \).
В I четверти \( \sin \alpha > 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = 0,6 = \frac{3}{5} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75 \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3} \).

Ответ: \( \sin \alpha = 0,6 \), \( \operatorname{tg} \alpha = 0,75 \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{4}{3} \).

6) \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \) и \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)

Дано: \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \), угол \( \alpha \) находится в IV четверти (\( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \)).

Шаг 1: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \sin^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{1 - \left( -\frac{5}{13} \right)^2} = \pm\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{169 - 25}{169}} = \pm\sqrt{\frac{144}{169}} = \pm\frac{12}{13} \).
В IV четверти \( \cos \alpha > 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \).

Шаг 2: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-5/13}{12/13} = -\frac{5}{12} \).

Шаг 3: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-5/12} = -\frac{12}{5} \).

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \), \( \operatorname{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \).

7) \( \operatorname{tg} \alpha = -2,4 \) и \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)

Дано: \( \operatorname{tg} \alpha = -2,4 = -\frac{24}{10} = -\frac{12}{5} \), угол \( \alpha \) находится во II четверти (\( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \)).

Шаг 1: Находим \( \operatorname{ctg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{tg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \).

Шаг 2: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \cos^2 \alpha = \frac{1}{1 + (-2,4)^2} = \frac{1}{1 + 5,76} = \frac{1}{6,76} = \frac{1}{676/100} = \frac{100}{676} = \frac{25}{169} \).
Извлекаем корень: \( \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{25}{169}} = \pm\frac{5}{13} \).
Во II четверти \( \cos \alpha < 0 \). Поэтому: \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \).

Шаг 3: Находим \( \sin \alpha \).

Формула: \( \sin \alpha = \operatorname{tg} \alpha \cdot \cos \alpha \).
Подставляем: \( \sin \alpha = \left( -\frac{12}{5} \right) \cdot \left( -\frac{5}{13} \right) = \frac{12}{13} \).

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \cos \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \).

8) \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)

Дано: \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{7}{24} \), угол \( \alpha \) находится в III четверти (\( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \)).

Шаг 1: Находим \( \operatorname{tg} \alpha \).

Формула: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{\operatorname{ctg} \alpha} \).
Подставляем: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{1}{7/24} = \frac{24}{7} \).

Шаг 2: Находим \( \sin \alpha \).

Формула для \( \sin^2 \alpha \): \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha} \).
Подставляем: \( \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + \left( \frac{7}{24} \right)^2} = \frac{1}{1 + \frac{49}{576}} = \frac{1}{\frac{576 + 49}{576}} = \frac{576}{625} \).
Извлекаем корень: \( \sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25} \).
В III четверти \( \sin \alpha < 0 \). Поэтому: \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \).

Шаг 3: Находим \( \cos \alpha \).

Формула: \( \cos \alpha = \operatorname{ctg} \alpha \cdot \sin \alpha \).
Подставляем: \( \cos \alpha = \frac{7}{24} \cdot \left( -\frac{24}{25} \right) = -\frac{7}{25} \).

Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{24}{25} \), \( \cos \alpha = -\frac{7}{25} \), \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{24}{7} \).

Что применять при решении

Основное тригонометрическое тождество

Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице. Это следствие уравнения окружности \( x^2 + y^2 = 1 \) для точки \( M(x; y) \) на единичной окружности, где \( x = \cos \alpha \) и \( y = \sin \alpha \).

\( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \)

Связь тангенса и косинуса

Формула, связывающая тангенс и косинус, выведена из основного тригонометрического тождества делением на \( \cos^2 \alpha \). Она справедлива, когда \( \cos \alpha \neq 0 \), то есть \( \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbf{Z} \).

\( 1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Определение тангенса и котангенса

Тангенс угла - это отношение синуса к косинусу, а котангенс - это отношение косинуса к синусу. Котангенс также является величиной, обратной тангенсу (при условии их существования).

\( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \), \( \operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), \( \operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1 \)

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Знаки \( \sin \alpha \), \( \cos \alpha \), \( \operatorname{tg} \alpha \) и \( \operatorname{ctg} \alpha \) зависят от того, в какой координатной четверти (квадранте) находится угол \( \alpha \).

I четверть: \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
II четверть: \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). \( \sin \alpha > 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).
III четверть: \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha < 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha > 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha > 0 \).
IV четверть: \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). \( \sin \alpha < 0 \), \( \cos \alpha > 0 \), \( \operatorname{tg} \alpha < 0 \), \( \operatorname{ctg} \alpha < 0 \).

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность

Готовый файл Word

15-30 страниц

Список источников по ГОСТ

Оформление по ГОСТ

Таблицы и схемы

Создать

Другие упражнения из параграфа § 25

456 457 458 459 460 461 462 463 464

Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.