ГДЗ: Упражнение 953 - § 53 (Выпуклость графика функции, точки перегиба) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^2 \) и \( v = \cos x \).

\n

\n
• Производная \( u' = (x^2)' = 2x \).
\n
• Производная \( v' = (\cos x)' = -\sin x \).
\n

\n

Следовательно, \( f'(x) = (x^2)' \cos x + x^2 (\cos x)' = 2x \cos x + x^2 (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Вторая производная - это производная от \( f'(x) \): \( f''(x) = (2x \cos x - x^2 \sin x)' \).
Используем формулу производной разности \( (u - v)' = u' - v' \) и формулу производной произведения.

\n

\n
• Производная первого слагаемого \( (2x \cos x)' \):
  \n\( (2x \cos x)' = (2x)' \cos x + 2x (\cos x)' = 2 \cos x + 2x (-\sin x) = 2 \cos x - 2x \sin x \).
\n
• Производная второго слагаемого \( (x^2 \sin x)' \):
  \n\( (x^2 \sin x)' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x \).
\n

\n

Теперь вычитаем производные слагаемых:
\n\( f''(x) = (2 \cos x - 2x \sin x) - (2x \sin x + x^2 \cos x) = 2 \cos x - 2x \sin x - 2x \sin x - x^2 \cos x \).

\n

Шаг 3: Упрощение выражения.

\n

\( f''(x) = (2 - x^2) \cos x - 4x \sin x \).

\n

Ответ: \( f''(x) = (2 - x^2) \cos x - 4x \sin x \).

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем формулу производной произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^4 \) и \( v = \sin x \).

\n

\n
• Производная \( u' = (x^4)' = 4x^3 \).
\n
• Производная \( v' = (\sin x)' = \cos x \).
\n

\n

Следовательно, \( f'(x) = (x^4)' \sin x + x^4 (\sin x)' = 4x^3 \sin x + x^4 \cos x \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Вторая производная - это производная от \( f'(x) \): \( f''(x) = (4x^3 \sin x + x^4 \cos x)' \).
Используем формулу производной суммы \( (u + v)' = u' + v' \) и формулу производной произведения для каждого слагаемого.

\n

\n
• Производная первого слагаемого \( (4x^3 \sin x)' \):
  \n\( (4x^3 \sin x)' = (4x^3)' \sin x + 4x^3 (\sin x)' = 12x^2 \sin x + 4x^3 \cos x \).
\n
• Производная второго слагаемого \( (x^4 \cos x)' \):
  \n\( (x^4 \cos x)' = (x^4)' \cos x + x^4 (\cos x)' = 4x^3 \cos x + x^4 (-\sin x) = 4x^3 \cos x - x^4 \sin x \).
\n

\n

Теперь складываем производные слагаемых:
\n\( f''(x) = (12x^2 \sin x + 4x^3 \cos x) + (4x^3 \cos x - x^4 \sin x) \).

\n

Шаг 3: Упрощение выражения.

\n

Объединяем слагаемые, содержащие \(\sin x\) и \(\cos x\):
\n\( f''(x) = (12x^2 - x^4) \sin x + (4x^3 + 4x^3) \cos x = (12x^2 - x^4) \sin x + 8x^3 \cos x \).

\n

Ответ: \( f''(x) = (12x^2 - x^4) \sin x + 8x^3 \cos x \).

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем правило дифференцирования многочлена: \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \((C)' = 0 \).

\n

\( f'(x) = (x^3)' + (2x^4)' - (x^2)' + (2)' = 3x^{3-1} + 2 \cdot 4x^{4-1} - 2x^{2-1} + 0 = 3x^2 + 8x^3 - 2x \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Вторая производная - это производная от \( f'(x) \): \( f''(x) = (3x^2 + 8x^3 - 2x)' \).

\n

\( f''(x) = (3x^2)' + (8x^3)' - (2x)' = 3 \cdot 2x^{2-1} + 8 \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 1x^{1-1} = 6x + 24x^2 - 2 \).

\n

Шаг 3: Упорядочивание выражения.

\n

\( f''(x) = 24x^2 + 6x - 2 \).

\n

Ответ: \( f''(x) = 24x^2 + 6x - 2 \).

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем правило дифференцирования многочлена: \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и \((C)' = 0 \).

\n

\( f'(x) = (x^4)' - (3x^3)' + (5x)' + (6)' = 4x^{4-1} - 3 \cdot 3x^{3-1} + 5 \cdot 1 + 0 = 4x^3 - 9x^2 + 5 \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Вторая производная - это производная от \( f'(x) \): \( f''(x) = (4x^3 - 9x^2 + 5)' \).

\n

\( f''(x) = (4x^3)' - (9x^2)' + (5)' = 4 \cdot 3x^{3-1} - 9 \cdot 2x^{2-1} + 0 = 12x^2 - 18x \).

\n

Ответ: \( f''(x) = 12x^2 - 18x \).

Производная от первой производной функции \( f(x) \) называется производной второго порядка или второй производной и обозначается \( f''(x) \).

Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) > 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является вогнутым (выпуклым вниз). Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) < 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является выпуклым (выпуклым вверх).

Точка \( x_0 \), в которой вторая производная \( f''(x_0) = 0 \) или не существует, и при переходе через которую \( f''(x) \) меняет знак, называется точкой перегиба графика функции.

Основные правила дифференцирования, используемые для нахождения первой и второй производной.