ГДЗ: Упражнение 955 - § 53 (Выпуклость графика функции, точки перегиба) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\n
• Первая производная: \( f'(x) = (\cos x)' = -\sin x \).
\n
• Вторая производная: \( f''(x) = (-\sin x)' = -\cos x \).
\n

\n

Шаг 2: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( -\cos x = 0 \), откуда \( \cos x = 0 \).
\nОбщее решение: \( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \).
\nВ заданном интервале \( (-\pi; \pi) \) (то есть \( -180^{\circ} < x < 180^{\circ} \)) находятся две критические точки:
\nПри \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{2} \).
\nПри \( k = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{2} \).
\nКритические точки: \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \).

\n

Шаг 3: Анализ смены знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Интервалы: \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \), \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \), \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \). Знак \( f''(x) \) противоположен знаку \( \cos x \).

\n

\n
• Интервал \( (-\pi; -\frac{\pi}{2}) \): \( \cos x < 0 \) (III четверть).
  \nСледовательно, \( f''(x) = -\cos x > 0 \). (Вогнутость).
\n
• Интервал \( (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) \): \( \cos x > 0 \) (I и IV четверти).
  \nСледовательно, \( f''(x) = -\cos x < 0 \). (Выпуклость).
\n
• Интервал \( (\frac{\pi}{2}; \pi) \): \( \cos x < 0 \) (II четверть).
  \nСледовательно, \( f''(x) = -\cos x > 0 \). (Вогнутость).
\n

\n

Поскольку при переходе через \( x = -\frac{\pi}{2} \) и \( x = \frac{\pi}{2} \) вторая производная меняет знак, эти точки являются точками перегиба.

\n

Шаг 4: Нахождение координат точек перегиба.

\n

\n
• При \( x = -\frac{\pi}{2} \): \( y = f(-\frac{\pi}{2}) = \cos(-\frac{\pi}{2}) = 0 \). Точка: \( (-\frac{\pi}{2}; 0) \).
\n
• При \( x = \frac{\pi}{2} \): \( y = f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \). Точка: \( (\frac{\pi}{2}; 0) \).
\n

\n

Ответ: Точки перегиба: \( -\frac{\pi}{2} \) и \( \frac{\pi}{2} \).

Шаг 1: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\n
• Первая производная: \( f'(x) = (x^5 - 80x^2)' = 5x^4 - 160x \).
\n
• Вторая производная: \( f''(x) = (5x^4 - 160x)' = 20x^3 - 160 \).
\n

\n

Шаг 2: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( 20x^3 - 160 = 0 \).
\n\( 20x^3 = 160 \implies x^3 = 8 \implies x = 2 \).
\nКритическая точка: \( x = 2 \). Она делит числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; 2) \) и \( (2; +\infty) \).

\n

Шаг 3: Анализ смены знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Знак \( f''(x) = 20(x^3 - 8) = 20(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \). Так как \( x^2 + 2x + 4 > 0 \) (дискриминант отрицателен), знак \( f''(x) \) определяется знаком \( x - 2 \).

\n

\n
• Интервал \( (-\infty; 2) \): Возьмем \( x = 0 \).
  \n\( f''(0) = 20(0^3 - 8) = -160 < 0 \). (Выпуклость).
\n
• Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмем \( x = 3 \).
  \n\( f''(3) = 20(3^3 - 8) = 20(27 - 8) = 380 > 0 \). (Вогнутость).
\n

\n

Поскольку при переходе через \( x = 2 \) вторая производная меняет знак, \( x = 2 \) является точкой перегиба.

\n

Шаг 4: Нахождение координаты точки перегиба.

\n

При \( x = 2 \): \( y = f(2) = 2^5 - 80 \cdot 2^2 = 32 - 80 \cdot 4 = 32 - 320 = -288 \).
\nТочка: \( (2; -288) \).

\n

Ответ: Точка перегиба: \( x = 2 \).

Шаг 1: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\n
• Первая производная: \( f'(x) = (12x^3 - 24x^2 + 12x)' = 36x^2 - 48x + 12 \).
\n
• Вторая производная: \( f''(x) = (36x^2 - 48x + 12)' = 72x - 48 \).
\n

\n

Шаг 2: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( 72x - 48 = 0 \).
\n\( 72x = 48 \implies x = \frac{48}{72} = \frac{2}{3} \).
\nКритическая точка: \( x = \frac{2}{3} \). Она делит числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; \frac{2}{3}) \) и \( (\frac{2}{3}; +\infty) \).

\n

Шаг 3: Анализ смены знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Знак \( f''(x) = 72x - 48 = 48(1.5x - 1) \). Знак определяется линейным выражением.

\n

\n
• Интервал \( (-\infty; \frac{2}{3}) \): Возьмем \( x = 0 \).
  \n\( f''(0) = -48 < 0 \). (Выпуклость).
\n
• Интервал \( (\frac{2}{3}; +\infty) \): Возьмем \( x = 1 \).
  \n\( f''(1) = 72(1) - 48 = 24 > 0 \). (Вогнутость).
\n

\n

Поскольку при переходе через \( x = \frac{2}{3} \) вторая производная меняет знак, \( x = \frac{2}{3} \) является точкой перегиба.

\n

Шаг 4: Нахождение координаты точки перегиба.

\n

При \( x = \frac{2}{3} \):
\n\( y = f(\frac{2}{3}) = 12(\frac{2}{3})^3 - 24(\frac{2}{3})^2 + 12(\frac{2}{3}) = 12 \cdot \frac{8}{27} - 24 \cdot \frac{4}{9} + 8 \).
\n\( y = \frac{4 \cdot 8}{9} - \frac{8 \cdot 4}{3} + 8 = \frac{32}{9} - \frac{32}{3} + 8 = \frac{32}{9} - \frac{96}{9} + \frac{72}{9} = \frac{32 - 96 + 72}{9} = \frac{8}{9} \).
\nТочка: \( (\frac{2}{3}; \frac{8}{9}) \).

\n

Ответ: Точка перегиба: \( x = \frac{2}{3} \).

Шаг 1: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\n
• Первая производная:
  \n\( f'(x) = (\sin x - \frac{1}{2} \sin 2x)' = \cos x - \frac{1}{2} (\cos 2x) \cdot (2x)' = \cos x - \frac{1}{2} \cos 2x \cdot 2 = \cos x - \cos 2x \).
\n
• Вторая производная:
  \n\( f''(x) = (\cos x - \cos 2x)' = (\cos x)' - (\cos 2x)' = -\sin x - (-\sin 2x) \cdot (2x)' = -\sin x + 2 \sin 2x \).
\n

\n

Шаг 2: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( -\sin x + 2 \sin 2x = 0 \).
\nИспользуем формулу двойного угла \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\n\( -\sin x + 2 (2 \sin x \cos x) = 0 \).
\n\( -\sin x + 4 \sin x \cos x = 0 \).
\nВыносим \( \sin x \): \( \sin x (4 \cos x - 1) = 0 \).
\nВозможны два случая:
\n1. \( \sin x = 0 \). В интервале \( (-\pi; \pi) \) это \( x = 0 \).
\n2. \( 4 \cos x - 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{4} \).
\nВ интервале \( (-\pi; \pi) \) это \( x = \pm \arccos \frac{1}{4} \). Обозначим \( \alpha = \arccos \frac{1}{4} \), где \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \).
\nКритические точки: \( x_1 = -\alpha, x_2 = 0, x_3 = \alpha \).

\n

Шаг 3: Анализ смены знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Интервалы: \( (-\pi; -\alpha) \), \( (-\alpha; 0) \), \( (0; \alpha) \), \( (\alpha; \pi) \).
\nЗнак \( f''(x) = \sin x (4 \cos x - 1) \).

\n

\n
• Интервал \( (-\pi; -\alpha) \): \( \sin x < 0 \), \( \cos x < \frac{1}{4} \implies 4 \cos x - 1 < 0 \).
  \n\( f''(x) = (-) \cdot (-) = + \). (Вогнутость).
\n
• Интервал \( (-\alpha; 0) \): \( \sin x < 0 \), \( \cos x > \frac{1}{4} \implies 4 \cos x - 1 > 0 \).
  \n\( f''(x) = (-) \cdot (+) = - \). (Выпуклость).
\n
• Интервал \( (0; \alpha) \): \( \sin x > 0 \), \( \cos x > \frac{1}{4} \implies 4 \cos x - 1 > 0 \).
  \n\( f''(x) = (+) \cdot (+) = + \). (Вогнутость).
\n
• Интервал \( (\alpha; \pi) \): \( \sin x > 0 \), \( \cos x < \frac{1}{4} \implies 4 \cos x - 1 < 0 \).
  \n\( f''(x) = (+) \cdot (-) = - \). (Выпуклость).
\n

\n

Во всех трех критических точках \( x = -\alpha \), \( x = 0 \), \( x = \alpha \) происходит смена знака \( f''(x) \). Следовательно, они являются точками перегиба.

\n

Шаг 4: Нахождение точек перегиба.

\n

Точки перегиба: \( x = -\arccos \frac{1}{4} \), \( x = 0 \), \( x = \arccos \frac{1}{4} \).

\n

Ответ: Точки перегиба: \( 0, \pm \arccos \frac{1}{4} \).

Производная от первой производной функции \( f(x) \) называется производной второго порядка или второй производной и обозначается \( f''(x) \).

Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) > 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является вогнутым (выпуклым вниз). Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) < 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является выпуклым (выпуклым вверх).

Точка \( x_0 \), в которой вторая производная \( f''(x_0) = 0 \) или не существует, и при переходе через которую \( f''(x) \) меняет знак, называется точкой перегиба графика функции.

Основные правила дифференцирования, используемые для нахождения первой и второй производной.