ГДЗ: Упражнение 954 - § 53 (Выпуклость графика функции, точки перегиба) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем правило производной сложной функции: \( (u^n)' = nu^{n-1} \cdot u' \), где \( u = x + 1 \).

\n

\( f'(x) = 4(x + 1)^{4-1} \cdot (x + 1)' = 4(x + 1)^3 \cdot 1 = 4(x + 1)^3 \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Используем то же правило для \( f''(x) = (4(x + 1)^3)' \).

\n

\( f''(x) = 4 \cdot 3(x + 1)^{3-1} \cdot (x + 1)' = 12(x + 1)^2 \cdot 1 = 12(x + 1)^2 \).

\n

Шаг 3: Определение знака второй производной.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( 12(x + 1)^2 = 0 \), откуда \( x = -1 \).
Поскольку \( (x + 1)^2 \ge 0 \) для любого \( x \), то \( f''(x) = 12(x + 1)^2 \ge 0 \) для всех \( x \ne -1 \), и \( f''(-1) = 0 \).

\n

Шаг 4: Анализ интервалов.

\n

\n
• На интервалах \( (-\infty; -1) \) и \( (-1; +\infty) \) имеем \( f''(x) > 0 \). Это означает, что на этих интервалах график функции является выпуклым вниз (вогнутым).
\n
• Интервалов, где \( f''(x) < 0 \) (выпуклость вверх), нет.
\n

\n

Так как \( f''(x) \ge 0 \) на всей числовой прямой, функция \( f(x) \) является выпуклой вниз на всей области определения.

\n

Ответ: Интервал выпуклости вниз: \( (-\infty; +\infty) \). Интервалов выпуклости вверх нет.

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

\( f'(x) = (x^3 - 6x^2 + 4)' = 3x^2 - 12x \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\( f''(x) = (3x^2 - 12x)' = 6x - 12 \).

\n

Шаг 3: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( 6x - 12 = 0 \), откуда \( 6x = 12 \), то есть \( x = 2 \). Точка \( x = 2 \) делит числовую прямую на два интервала: \( (-\infty; 2) \) и \( (2; +\infty) \).

\n

Шаг 4: Анализ знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

\n
• Интервал \( (-\infty; 2) \): Возьмем пробную точку \( x = 0 \).
  \n\( f''(0) = 6(0) - 12 = -12 \).
  \nПоскольку \( f''(x) < 0 \), график функции выпуклый вверх на \( (-\infty; 2) \).
\n
• Интервал \( (2; +\infty) \): Возьмем пробную точку \( x = 3 \).
  \n\( f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 \).
  \nПоскольку \( f''(x) > 0 \), график функции выпуклый вниз на \( (2; +\infty) \).
\n

\n

Ответ: Интервал выпуклости вверх: \( (-\infty; 2) \). Интервал выпуклости вниз: \( (2; +\infty) \).

Шаг 1: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем формулу произведения \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x^2 - 3x + 2 \) и \( v = e^x \).

\n

\n
• \( u' = (x^2 - 3x + 2)' = 2x - 3 \).
\n
• \( v' = (e^x)' = e^x \).
\n

\n

\( f'(x) = (2x - 3)e^x + (x^2 - 3x + 2)e^x = e^x (2x - 3 + x^2 - 3x + 2) = e^x (x^2 - x - 1) \).

\n

Шаг 2: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

Используем формулу произведения для \( f'(x) \): \( f''(x) = (e^x (x^2 - x - 1))' \).

\n

\n
• Производная первого множителя \( (e^x)' = e^x \).
\n
• Производная второго множителя \( (x^2 - x - 1)' = 2x - 1 \).
\n

\n

\( f''(x) = (e^x)' (x^2 - x - 1) + e^x (x^2 - x - 1)' = e^x (x^2 - x - 1) + e^x (2x - 1) \).
\nВыносим \( e^x \):
\n\( f''(x) = e^x (x^2 - x - 1 + 2x - 1) = e^x (x^2 + x - 2) \).

\n

Шаг 3: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю: \( e^x (x^2 + x - 2) = 0 \). Так как \( e^x > 0 \) для всех \( x \), достаточно решить \( x^2 + x - 2 = 0 \).
\nПо теореме Виета или через дискриминант корни: \( x_1 = -2 \) и \( x_2 = 1 \).
\nЭти точки делят числовую прямую на интервалы: \( (-\infty; -2) \), \( (-2; 1) \), \( (1; +\infty) \).

\n

Шаг 4: Анализ знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Знак \( f''(x) \) определяется знаком квадратного трехчлена \( x^2 + x - 2 \).

\n

\n
• Интервал \( (-\infty; -2) \): Возьмем \( x = -3 \).
  \n\( (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 \).
  \n\( f''(x) > 0 \). График выпуклый вниз.
\n
• Интервал \( (-2; 1) \): Возьмем \( x = 0 \).
  \n\( (0)^2 + (0) - 2 = -2 \).
  \n\( f''(x) < 0 \). График выпуклый вверх.
\n
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \).
  \n\( (2)^2 + (2) - 2 = 4 \).
  \n\( f''(x) > 0 \). График выпуклый вниз.
\n

\n

Ответ: Интервал выпуклости вверх: \( (-2; 1) \). Интервалы выпуклости вниз: \( (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \).

Шаг 1: Определение области определения.

\n

Функция содержит \(\ln x\), поэтому область определения \( x > 0 \).

\n

Шаг 2: Нахождение первой производной \( f'(x) \).

\n

Используем формулу производной разности и произведения \( (6x \ln x)' \), где \( u = 6x \) и \( v = \ln x \).

\n

\n
• Производная \( (x^3)' = 3x^2 \).
\n
• Производная \( (6x \ln x)' = (6x)' \ln x + 6x (\ln x)' = 6 \ln x + 6x \cdot \frac{1}{x} = 6 \ln x + 6 \).
\n

\n

\( f'(x) = 3x^2 - (6 \ln x + 6) = 3x^2 - 6 \ln x - 6 \).

\n

Шаг 3: Нахождение второй производной \( f''(x) \).

\n

\( f''(x) = (3x^2 - 6 \ln x - 6)' \).

\n

\n
• Производная \( (3x^2)' = 6x \).
\n
• Производная \( (6 \ln x)' = 6 \cdot \frac{1}{x} = \frac{6}{x} \).
\n
• Производная \( (-6)' = 0 \).
\n

\n

\( f''(x) = 6x - \frac{6}{x} \).

\n

Шаг 4: Определение критических точек.

\n

Приравниваем \( f''(x) \) к нулю (учитывая \( x > 0 \)): \( 6x - \frac{6}{x} = 0 \).
\nУмножим на \( x \): \( 6x^2 - 6 = 0 \).
\n\( 6(x^2 - 1) = 0 \).
\nКорни: \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
\nУчитывая, что \( x > 0 \), критическая точка: \( x = 1 \).
\nЭта точка делит область определения \( (0; +\infty) \) на два интервала: \( (0; 1) \) и \( (1; +\infty) \).

\n

Шаг 5: Анализ знака \( f''(x) \) на интервалах.

\n

Представим \( f''(x) \) как \( f''(x) = \frac{6x^2 - 6}{x} = \frac{6(x - 1)(x + 1)}{x} \). При \( x > 0 \), знаменатель \( x > 0 \) и множитель \( x + 1 > 0 \). Знак \( f''(x) \) определяется знаком множителя \( x - 1 \).

\n

\n
• Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0.5 \).
  \n\( f''(0.5) = \frac{6(0.5^2 - 1)}{0.5} < 0 \) (так как \( 0.5^2 - 1 = -0.75 < 0 \)).
  \n\( f''(x) < 0 \). График выпуклый вверх.
\n
• Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \).
  \n\( f''(2) = \frac{6(2^2 - 1)}{2} = 3 \cdot 3 = 9 \).
  \n\( f''(x) > 0 \). График выпуклый вниз.
\n

\n

Ответ: Интервал выпуклости вверх: \( (0; 1) \). Интервал выпуклости вниз: \( (1; +\infty) \).

Производная от первой производной функции \( f(x) \) называется производной второго порядка или второй производной и обозначается \( f''(x) \).

Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) > 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является вогнутым (выпуклым вниз). Если на интервале \( (a; b) \) вторая производная \( f''(x) < 0 \), то график функции \( f(x) \) на этом интервале является выпуклым (выпуклым вверх).

Точка \( x_0 \), в которой вторая производная \( f''(x_0) = 0 \) или не существует, и при переходе через которую \( f''(x) \) меняет знак, называется точкой перегиба графика функции.

Основные правила дифференцирования, используемые для нахождения первой и второй производной.