ГДЗ: Упражнение 2 - § 1 (Целые и рациональные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Складываем дроби, приведя их к общему знаменателю \( 9 \cdot 11 = 99 \):

• Шаг 1: Приведение к общему знаменателю: \( \frac{2}{9} + \frac{1}{11} = \frac{2 \cdot 11}{99} + \frac{1 \cdot 9}{99} = \frac{22}{99} + \frac{9}{99} = \frac{31}{99} \)
• Шаг 2: Перевод в десятичную дробь: \( 31 : 99 = 0,313131... \)
• Ответ: \( 0,(31) \)

Складываем дроби, объединяя целую часть с дробными:

• Шаг 1: Сложение дробных частей: \( \frac{8}{13} + 2 \frac{2}{13} = 2 + (\frac{8}{13} + \frac{2}{13}) = 2 + \frac{10}{13} = 2 \frac{10}{13} \)
• Шаг 2: Перевод в неправильную дробь: \( 2 \frac{10}{13} = \frac{2 \cdot 13 + 10}{13} = \frac{36}{13} \)
• Шаг 3: Перевод в десятичную дробь: \( 36 : 13 = 2,769230769230... \)
• Ответ: \( 2,(769230) \)

Складываем целое число и десятичную дробь:

• Вычисление: \( 1 + 1,25 = 2,25 \)
• Ответ: \( 2,25 \)

Для удобства приведем десятичную дробь \( 0,33 \) к виду обыкновенной дроби \( \frac{33}{100} \) и найдем сумму, приведя дроби к общему знаменателю \( 900 \):

• Шаг 1: Приведение к общему знаменателю: \( \frac{4}{9} + \frac{33}{100} = \frac{4 \cdot 100}{900} + \frac{33 \cdot 9}{900} = \frac{400 + 297}{900} = \frac{697}{900} \)
• Шаг 2: Перевод в десятичную дробь: \( 697 : 900 = 0,77444... \)
• Ответ: \( 0,77(4) \)

Выполняем вычитание:

• Вычисление: \( 1 - 1,05 = -0,05 \)
• Ответ: \( -0,05 \)

Умножение дробей. Переведем десятичную дробь \( 1,7 \) в обыкновенную \( \frac{17}{10} \):

• Шаг 1: Умножение обыкновенных дробей: \( \frac{7}{9} \cdot 1,7 = \frac{7}{9} \cdot \frac{17}{10} = \frac{7 \cdot 17}{9 \cdot 10} = \frac{119}{90} \)
• Шаг 2: Перевод в десятичную дробь: \( 119 : 90 = 1,3222... \)
• Ответ: \( 1,3(2) \)

Число, которое может быть представлено в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается символом \( \mathbb{Q} \).

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого необходимо разделить числитель \( m \) на знаменатель \( n \) (деление «уголком»). Если в процессе деления остаток равен нулю, дробь будет конечной; если остатки начинают повторяться, дробь будет бесконечной периодической.

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби \( x \) в обыкновенную дробь используется метод составления и вычитания уравнений. Если \( x = 0,(a) \) (чистая периодическая дробь), то \( 10^k x - x = a \), где \( k \) — число цифр в периоде. Если дробь смешанная, например, \( x = 0,a(b) \), сначала ее умножают на степень 10, чтобы период начинался сразу после запятой.