ГДЗ: Упражнение 5 - § 1 (Целые и рациональные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Выполняем вычисления по порядку, переводя все смешанные дроби и обыкновенные дроби в десятичный вид для упрощения:

• Действие 1: Первая скобка:
  • Перевод смешанной дроби: \( 3 \frac{4}{25} = 3 + \frac{4}{25} = 3 + 0,16 = 3,16 \)
  • Сложение: \( 3,16 + 0,24 = 3,40 \)
• Действие 2: Вторая скобка:
  • Перевод смешанной дроби: \( 2 \frac{3}{16} = 2 + \frac{3}{16} = 2 + 0,1875 = 2,1875 \)
  • Вычитание: \( 5,1625 - 2,1875 = 2,975 \)
• Действие 3: Множитель \( \frac{2}{5} \) в десятичном виде:
  • \( \frac{2}{5} = 0,4 \)
• Действие 4: Перемножение всех полученных множителей:
  • Выражение: \( 3,40 \cdot 2,15 \cdot 2,975 \cdot 0,4 \)
  • Первое умножение: \( 3,4 \cdot 2,15 = 7,31 \)
  • Второе умножение: \( 7,31 \cdot 2,975 = 21,75725 \)
  • Третье умножение: \( 21,75725 \cdot 0,4 = 8,7029 \)
• Ответ: \( 8,7029 \)

Выполняем вычисления по действиям:

• Действие 1: Первое деление:
  • Переведем \( \frac{7}{25} \) в десятичную дробь: \( \frac{7}{25} = 0,28 \)
  • \( 0,364 : 0,28 = 1,3 \)
• Действие 2: Второе деление:
  • Переведем \( 0,125 \) в обыкновенную дробь: \( 0,125 = \frac{1}{8} \)
  • \( \frac{5}{16} : 0,125 = \frac{5}{16} : \frac{1}{8} = \frac{5}{16} \cdot 8 = \frac{5}{2} = 2,5 \)
• Действие 3: Умножение:
  • Переведем \( 2 \frac{1}{2} \) в десятичную дробь: \( 2 \frac{1}{2} = 2,5 \)
  • \( 2,5 \cdot 0,8 = 2 \)
• Действие 4: Сложение результатов: \( 1,3 + 2,5 + 2 = 5,8 \)
• Ответ: \( 5,8 \)

Число, которое может быть представлено в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается символом \( \mathbb{Q} \).

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого необходимо разделить числитель \( m \) на знаменатель \( n \) (деление «уголком»). Если в процессе деления остаток равен нулю, дробь будет конечной; если остатки начинают повторяться, дробь будет бесконечной периодической.

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби \( x \) в обыкновенную дробь используется метод составления и вычитания уравнений. Если \( x = 0,(a) \) (чистая периодическая дробь), то \( 10^k x - x = a \), где \( k \) — число цифр в периоде. Если дробь смешанная, например, \( x = 0,a(b) \), сначала ее умножают на степень 10, чтобы период начинался сразу после запятой.