ГДЗ: Упражнение 3 - § 1 (Целые и рациональные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пусть \( x = 0,(6) \). Период состоит из одной цифры, поэтому умножим обе части на \( 10^1 = 10 \):

• Шаг 1: Задаем переменную: \( x = 0,666... \)
• Шаг 2: Умножаем на 10: \( 10x = 6,666... \)
• Шаг 3: Вычитаем первое уравнение из второго: \( 10x - x = 6,666... - 0,666... \)
• Шаг 4: Решаем полученное уравнение: \( 9x = 6 \rightarrow x = \frac{6}{9} \)
• Шаг 5: Сокращаем дробь: \( x = \frac{2}{3} \)
• Ответ: \( \frac{2}{3} \)

Представим число в виде суммы целой и дробной части: \( 1,(55) = 1 + 0,(55) \). Пусть \( y = 0,(55) \). Период состоит из двух цифр, поэтому умножим на \( 10^2 = 100 \):

• Шаг 1: Задаем переменную для дробной части: \( y = 0,5555... \)
• Шаг 2: Умножаем на 100: \( 100y = 55,5555... \)
• Шаг 3: Вычитаем: \( 100y - y = 55 \rightarrow 99y = 55 \)
• Шаг 4: Находим \( y \): \( y = \frac{55}{99} \). Сокращаем на 11: \( y = \frac{5}{9} \)
• Шаг 5: Находим \( x \): \( 1,(55) = 1 + \frac{5}{9} = 1 \frac{5}{9} = \frac{14}{9} \)
• Ответ: \( 1 \frac{5}{9} \) или \( \frac{14}{9} \)

Пусть \( x = 0,1(2) \). Это смешанная периодическая дробь (одна цифра до периода). Умножим на \( 10^1 \) (чтобы перевести запятую перед периодом) и на \( 10^2 \) (чтобы перевести запятую в конец первого периода):

• Шаг 1: Задаем переменную: \( x = 0,1222... \)
• Шаг 2: Умножаем на 10: \( 10x = 1,222... \)
• Шаг 3: Умножаем на 100: \( 100x = 12,222... \)
• Шаг 4: Вычитаем уравнение из Шага 2 из уравнения Шага 3: \( 100x - 10x = 12,222... - 1,222... \)
• Шаг 5: Решаем: \( 90x = 11 \rightarrow x = \frac{11}{90} \)
• Ответ: \( \frac{11}{90} \)

Аналогично варианту 1, найдем обыкновенную дробь для \( 0,(8) \), а затем применим знак «минус»:

• Шаг 1: Находим дробь для \( 0,(8) \): \( 9x = 8 \rightarrow x = \frac{8}{9} \)
• Шаг 2: Применяем знак: \( -0,(8) = -\frac{8}{9} \)
• Ответ: \( -\frac{8}{9} \)

Представим число в виде суммы целой и дробной части со знаком минус: \( -3,(27) = - (3 + 0,(27)) \). Пусть \( y = 0,(27) \). Период состоит из двух цифр:

• Шаг 1: Задаем переменную для дробной части: \( y = 0,2727... \)
• Шаг 2: Умножаем на 100: \( 100y = 27,2727... \)
• Шаг 3: Вычитаем: \( 99y = 27 \rightarrow y = \frac{27}{99} \). Сокращаем на 9: \( y = \frac{3}{11} \)
• Шаг 4: Находим \( x \): \( 3,(27) = 3 + \frac{3}{11} = 3 \frac{3}{11} = \frac{36}{11} \)
• Шаг 5: Применяем знак: \( -3,(27) = -\frac{36}{11} \)
• Ответ: \( -3 \frac{3}{11} \) или \( -\frac{36}{11} \)

Пусть \( x = 2,3(82) \). Это смешанная периодическая дробь. Умножим на \( 10^1 \) (перед периодом) и на \( 10^{1+2} = 1000 \) (после первого периода):

• Шаг 1: Задаем переменную: \( x = 2,38282... \)
• Шаг 2: Умножаем на 10: \( 10x = 23,8282... \)
• Шаг 3: Умножаем на 1000: \( 1000x = 2382,8282... \)
• Шаг 4: Вычитаем: \( 1000x - 10x = 2382,82... - 23,82... \rightarrow 990x = 2359 \)
• Шаг 5: Находим \( x \): \( x = \frac{2359}{990} \)
• Шаг 6: Применяем знак: \( -2,3(82) = -\frac{2359}{990} \)
• Ответ: \( -\frac{2359}{990} \)

Число, которое может быть представлено в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Множество рациональных чисел обозначается символом \( \mathbb{Q} \).

Любое рациональное число может быть представлено в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Для этого необходимо разделить числитель \( m \) на знаменатель \( n \) (деление «уголком»). Если в процессе деления остаток равен нулю, дробь будет конечной; если остатки начинают повторяться, дробь будет бесконечной периодической.

Для преобразования бесконечной периодической десятичной дроби \( x \) в обыкновенную дробь используется метод составления и вычитания уравнений. Если \( x = 0,(a) \) (чистая периодическая дробь), то \( 10^k x - x = a \), где \( k \) — число цифр в периоде. Если дробь смешанная, например, \( x = 0,a(b) \), сначала ее умножают на степень 10, чтобы период начинался сразу после запятой.