Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 54 / Задание 983

ГДЗ: Упражнение 983 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 291, 293
Глава: Глава 10
Параграф: § 54 - Первообразная
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

983 упражнение:

Показать, что функция \( F(x) \) является первообразной функции \( f(x) \) на всей числовой прямой:

1) \( F(x) = x^6 \), \( f(x) = 6x^5 \)

Для того чтобы показать, что функция \( F(x) = x^6 \) является первообразной функции \( f(x) = 6x^5 \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Шаг 1: Нахождение производной \( F(x) \).

Используем правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

  • \( F'(x) = (x^6)' \)
  • \( F'(x) = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5 \)
    • Шаг 2: Сравнение производной с функцией \( f(x) \).

    Полученная производная \( F'(x) = 6x^5 \) равна функции \( f(x) = 6x^5 \).

    Вывод:

    Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \) на всей числовой прямой, то функция \( F(x) = x^6 \) является первообразной для \( f(x) = 6x^5 \) на всей числовой прямой.

    Ответ: Показано, что \( F'(x) = (x^6)' = 6x^5 = f(x) \).
    2) \( F(x) = \frac{x^5}{5} + 1 \), \( f(x) = x^4 \)

    Для того чтобы показать, что функция \( F(x) = \frac{x^5}{5} + 1 \) является первообразной функции \( f(x) = x^4 \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

    Шаг 1: Нахождение производной \( F(x) \).

    Используем правило дифференцирования суммы \( (u+v)' = u' + v' \), правило \( (Cu)' = Cu' \) и правило степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

  • \( F'(x) = \left( \frac{x^5}{5} + 1 \right)' \)
  • \( F'(x) = \left( \frac{1}{5} x^5 \right)' + (1)' \)
  • \( F'(x) = \frac{1}{5} \cdot (x^5)' + 0 \)
  • \( F'(x) = \frac{1}{5} \cdot 5x^{5-1} = x^4 \)
    • Шаг 2: Сравнение производной с функцией \( f(x) \).

    Полученная производная \( F'(x) = x^4 \) равна функции \( f(x) = x^4 \).

    Вывод:

    Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \) на всей числовой прямой, то функция \( F(x) = \frac{x^5}{5} + 1 \) является первообразной для \( f(x) = x^4 \) на всей числовой прямой.

    Ответ: Показано, что \( F'(x) = \left( \frac{x^5}{5} + 1 \right)' = \frac{1}{5} \cdot 5x^4 + 0 = x^4 = f(x) \).

    Что применять при решении

    Определение первообразной
    Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство: \( F'(x) = f(x) \).
    \( F'(x) = f(x) \)
    Основное свойство первообразных
    Если \( F(x) \) - первообразная для \( f(x) \) на некотором промежутке, то любая другая первообразная \( \Phi(x) \) для \( f(x) \) на этом промежутке может быть представлена в виде: \( \Phi(x) = F(x) + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.
    \( \Phi(x) = F(x) + C \)
    Формула для нахождения первообразной степенной функции
    Первообразная для функции \( f(x) = x^p \) (при \( p \ne -1 \)) находится по формуле:
    \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)
    Правило нахождения первообразной для тригонометрических функций
    Первообразная для функции \( f(x) = \cos x \) - это \( \sin x \), так как \( (\sin x)' = \cos x \). Первообразная для функции \( f(x) = \sin x \) - это \( -\cos x \), так как \( (-\cos x)' = \sin x \).
    \( (\sin x)' = \cos x \text{ и } (-\cos x)' = \sin x \)
    Правило нахождения первообразной для показательной функции
    Первообразная для функции \( f(x) = e^x \) - это \( e^x \), так как \( (e^x)' = e^x \).
    \( (e^x)' = e^x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 54

    983 984 985 986 987
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.