ГДЗ: Упражнение 987 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для того чтобы показать, что \( F(x) = 3e^x \) является первообразной функции \( f(x) = 3e^x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Используем правило \( (Cu)' = Cu' \) и свойство \( (e^x)' = e^x \):

Полученная производная \( F'(x) = 3e^x \) равна функции \( f(x) = 3e^x \).

Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = 3e^x \) является первообразной для \( f(x) = 3e^x \) на всей числовой прямой.

Для того чтобы показать, что \( F(x) = e^x \) является первообразной функции \( f(x) = e^x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Используем свойство \( (e^x)' = e^x \):

Полученная производная \( F'(x) = e^x \) равна функции \( f(x) = e^x \).

Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = e^x \) является первообразной для \( f(x) = e^x \) на всей числовой прямой.

Для того чтобы показать, что \( F(x) = \sin 2x \) является первообразной функции \( f(x) = 2\cos 2x \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Используем правило дифференцирования сложной функции: \( (\sin u)' = (\cos u) \cdot u' \), где \( u = 2x \):

Полученная производная \( F'(x) = 2\cos 2x \) равна функции \( f(x) = 2\cos 2x \).

Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x \), то функция \( F(x) = \sin 2x \) является первообразной для \( f(x) = 2\cos 2x \) на всей числовой прямой.