Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 54 / Задание 986

ГДЗ: Упражнение 986 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 291, 293
Глава: Глава 10
Параграф: § 54 - Первообразная
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

986 упражнение:

Для функции \( f(x) \) найти первообразную, график которой проходит через точку \( M \):

1) \( f(x) = x \), \( M(-1; 3) \)

Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции \( f(x) = x \). Затем, используя условие прохождения графика через точку \( M(-1; 3) \), найдем значение произвольной постоянной \( C \).

Шаг 1: Нахождение общего вида первообразных.

Используем формулу для первообразной степенной функции \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \). Здесь \( p = 1 \):

  • \( F(x) = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C \)

    • Все первообразные имеют вид \( F(x) = \frac{x^2}{2} + C \).

    Шаг 2: Определение постоянной \( C \).

    График первообразной проходит через точку \( M(-1; 3) \). Это означает, что при \( x = -1 \) значение функции \( F(x) \) равно \( 3 \):

  • \( F(-1) = 3 \)
  • \( 3 = \frac{(-1)^2}{2} + C \)
  • \( 3 = \frac{1}{2} + C \)
  • \( C = 3 - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} - \frac{1}{2} = \frac{5}{2} = 2,5 \)
    • Шаг 3: Запись искомой первообразной.

    Подставляем найденное значение \( C = \frac{5}{2} \) в общее выражение для первообразной:

  • \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2} \)
    • Ответ: Искомая первообразная: \( F(x) = \frac{x^2}{2} + \frac{5}{2} \).
    2) \( f(x) = \sqrt{x} \), \( M(9; 10) \)

    Сначала найдем общее выражение для всех первообразных функции \( f(x) = \sqrt{x} \). Затем, используя условие прохождения графика через точку \( M(9; 10) \), найдем значение произвольной постоянной \( C \).

    Шаг 1: Нахождение общего вида первообразных.

    Перепишем \( f(x) \) в виде степенной функции: \( f(x) = x^{1/2} \). Используем формулу для первообразной степенной функции \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \). Здесь \( p = \frac{1}{2} \):

  • \( F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C \)
  • \( F(x) = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C \)
  • \( F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C \)

    • Все первообразные имеют вид \( F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C \).

    Шаг 2: Определение постоянной \( C \).

    График первообразной проходит через точку \( M(9; 10) \). Это означает, что при \( x = 9 \) значение функции \( F(x) \) равно \( 10 \):

  • \( F(9) = 10 \)
  • \( 10 = \frac{2}{3} \sqrt{9^3} + C \)
  • \( 10 = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{(3^2)^3} = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{3^6} = \frac{2}{3} \cdot 3^3 = 2 \cdot 3^2 = 18 \)
  • \( 10 = 18 + C \)
  • \( C = 10 - 18 = -8 \)
    • Шаг 3: Запись искомой первообразной.

    Подставляем найденное значение \( C = -8 \) в общее выражение для первообразной:

  • \( F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} - 8 \)
    • Ответ: Искомая первообразная: \( F(x) = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} - 8 \).

    Что применять при решении

    Определение первообразной
    Функция \( F(x) \) называется первообразной для функции \( f(x) \) на некотором промежутке, если для всех \( x \) из этого промежутка выполняется равенство: \( F'(x) = f(x) \).
    \( F'(x) = f(x) \)
    Основное свойство первообразных
    Если \( F(x) \) - первообразная для \( f(x) \) на некотором промежутке, то любая другая первообразная \( \Phi(x) \) для \( f(x) \) на этом промежутке может быть представлена в виде: \( \Phi(x) = F(x) + C \), где \( C \) - произвольная постоянная.
    \( \Phi(x) = F(x) + C \)
    Формула для нахождения первообразной степенной функции
    Первообразная для функции \( f(x) = x^p \) (при \( p \ne -1 \)) находится по формуле:
    \( F(x) = \frac{x^{p+1}}{p+1} + C \)
    Правило нахождения первообразной для тригонометрических функций
    Первообразная для функции \( f(x) = \cos x \) - это \( \sin x \), так как \( (\sin x)' = \cos x \). Первообразная для функции \( f(x) = \sin x \) - это \( -\cos x \), так как \( (-\cos x)' = \sin x \).
    \( (\sin x)' = \cos x \text{ и } (-\cos x)' = \sin x \)
    Правило нахождения первообразной для показательной функции
    Первообразная для функции \( f(x) = e^x \) - это \( e^x \), так как \( (e^x)' = e^x \).
    \( (e^x)' = e^x \)

    Задали создать проект?

    Создай с помощью ИИ за 5 минут

    До 90% уникальность
    Готовый файл Word
    15-30 страниц
    Список источников по ГОСТ
    Оформление по ГОСТ
    Таблицы и схемы

    Другие упражнения из параграфа § 54

    983 984 985 986 987
    Уведомление об авторском праве и цитировании

    ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

    Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

    В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.