ГДЗ: Упражнение 984 - § 54 (Первообразная) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Для того чтобы показать, что функция \( F(x) = \frac{2}{x} \) является первообразной функции \( f(x) = -\frac{2}{x^2} \) при \( x > 0 \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Перепишем \( F(x) \) в виде степенной функции: \( F(x) = 2 \cdot x^{-1} \).

Используем правило \( (Cu)' = Cu' \) и правило степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

Перепишем результат в виде дроби и сравним с \( f(x) \):

Полученная производная \( F'(x) = -\frac{2}{x^2} \) равна функции \( f(x) = -\frac{2}{x^2} \).

Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x > 0 \), то функция \( F(x) = \frac{2}{x} \) является первообразной для \( f(x) = -\frac{2}{x^2} \) при \( x > 0 \).

Для того чтобы показать, что функция \( F(x) = 1 + \sqrt{x} \) является первообразной функции \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) при \( x > 0 \), необходимо найти производную функции \( F(x) \) и убедиться, что она равна \( f(x) \).

Перепишем \( F(x) \) в виде: \( F(x) = 1 + x^{1/2} \).

Используем правило дифференцирования суммы и правило степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \):

Перепишем результат с использованием корня и сравним с \( f(x) \):

Полученная производная \( F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) равна функции \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).

Так как \( F'(x) = f(x) \) для всех \( x > 0 \), то функция \( F(x) = 1 + \sqrt{x} \) является первообразной для \( f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \) при \( x > 0 \).