ГДЗ: Упражнение 1000 - § 56 (Площадь криволинейной трапеции и интеграл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запись формулы площади.

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

Подставляем заданные значения: \( a = 2 \), \( b = 4 \), \( f(x) = x^3 \).

\( S = \int_{2}^{4} x^3 dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^3 \) — это функция \( F(x) = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(4) - F(2) = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \)

Шаг 4: Расчет.

• Сначала упростим первое слагаемое: \( \frac{4^4}{4} = 4^3 = 64 \).
• Вычислим второе слагаемое: \( \frac{2^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \).
• Вычислим площадь: \( S = 64 - 4 = 60 \).

Ответ: Площадь равна \( 60 \) квадратных единиц.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Подставляем заданные значения: \( a = 3 \), \( b = 4 \), \( f(x) = x^2 \).

\( S = \int_{3}^{4} x^2 dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^2 \) — это функция \( F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(4) - F(3) = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} \)

Шаг 4: Расчет.

• Вычислим степени: \( 4^3 = 64 \), \( 3^3 = 27 \).
• Подставим в формулу: \( S = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{64 - 27}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{37}{3} = 12 \frac{1}{3} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{37}{3} \) или \( 12 \frac{1}{3} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Подставляем заданные значения: \( a = -2 \), \( b = 1 \), \( f(x) = x^2 + 1 \). Функция \( f(x) = x^2 + 1 \ge 1 \) положительна на \([-2; 1]\).

\( S = \int_{-2}^{1} (x^2 + 1) dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^2 + 1 \) — это функция \( F(x) = \frac{x^3}{3} + x \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(1) - F(-2) = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} + (-2) \right) \)

Шаг 4: Расчет.

• Вычислим \( F(1) \): \( \frac{1}{3} + 1 = 1 \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \).
• Вычислим \( F(-2) \): \( \frac{-8}{3} - 2 = -2 \frac{8}{3} = -2 - 2 \frac{2}{3} = -4 \frac{2}{3} = - \frac{14}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = \frac{4}{3} - \left( -\frac{14}{3} \right) = \frac{4}{3} + \frac{14}{3} = \frac{18}{3} = 6 \).

Ответ: Площадь равна \( 6 \) квадратных единиц.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Подставляем заданные значения: \( a = 0 \), \( b = 2 \), \( f(x) = x^3 + 1 \).

\( S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^3 + 1 \) — это функция \( F(x) = \frac{x^4}{4} + x \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(2) - F(0) = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 0 \right) \)

Шаг 4: Расчет.

• Вычислим \( F(2) \): \( \frac{16}{4} + 2 = 4 + 2 = 6 \).
• Вычислим \( F(0) \): \( 0 \).
• Вычислим площадь: \( S = 6 - 0 = 6 \).

Ответ: Площадь равна \( 6 \) квадратных единиц.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Подставляем заданные значения: \( a = \frac{\pi}{3} \), \( b = \frac{2\pi}{3} \), \( f(x) = \sin x \). На отрезке \([\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}]\) функция \( \sin x \ge 0 \).

\( S = \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2\pi}{3}} \sin x dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = \sin x \) — это функция \( F(x) = -\cos x \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(\frac{2\pi}{3}) - F(\frac{\pi}{3}) = \left( -\cos \frac{2\pi}{3} \right) - \left( -\cos \frac{\pi}{3} \right) \)

Шаг 4: Расчет.

• Вычислим значения косинуса: \( \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} \), \( \cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} \).
• Подставим в формулу: \( S = -\left( -\frac{1}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) \).
• Раскроем скобки: \( S = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).

Ответ: Площадь равна \( 1 \) квадратной единице.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Подставляем заданные значения: \( a = -\frac{\pi}{6} \), \( b = 0 \), \( f(x) = \cos x \). На отрезке \([-\frac{\pi}{6}; 0]\) функция \( \cos x \ge 0 \).

\( S = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{0} \cos x dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = \cos x \) — это функция \( F(x) = \sin x \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(0) - F(-\frac{\pi}{6}) = \sin 0 - \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \)

Шаг 4: Расчет.

• Вычислим значения синуса: \( \sin 0 = 0 \).
• Воспользуемся нечетностью синуса: \( \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2} \).
• Подставим в формулу: \( S = 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{1}{2} \) квадратной единицы.