ГДЗ: Упражнение 999 - § 56 (Площадь криволинейной трапеции и интеграл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Анализ условий.

• График функции: \( y = (x - 1)^2 \). Это парабола, вершина которой находится в точке \((1; 0)\). Поскольку \((x-1)^2 \ge 0\), график находится не ниже оси \(Ox\).
• Нижняя граница: ось \(Ox\), то есть прямая \(y = 0\).
• Боковые границы: Неявно заданы. Точка пересечения параболы с осью \(Ox\) это \(x=1\). Прямая \(x=2\) задает правую границу. Следовательно, отрезок интегрирования: \([1; 2]\).

Шаг 2: Описание криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция ограничена сверху параболой \( y = (x - 1)^2 \), снизу отрезком \([1; 2]\) оси \(Ox\), слева точкой \((1; 0)\) (прямая \(x=1\)) и справа вертикальной прямой \(x = 2\).

Шаг 1: Анализ условий.

• График функции: \( y = 2x - x^2 \). Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при \(x^2\) отрицательный).
• Нижняя граница: ось \(Ox\), то есть прямая \(y = 0\).
• Боковые границы: Криволинейная трапеция ограничена осью \(Ox\) и графиком функции, следовательно, границы по \(x\) — это точки пересечения графика с осью \(Ox\).

Шаг 2: Нахождение точек пересечения с осью \(Ox\).

Приравниваем \(y\) к нулю:

\( 2x - x^2 = 0 \)

\( x(2 - x) = 0 \)

Корни: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 2 \).

Следовательно, отрезок интегрирования: \([0; 2]\).

Шаг 3: Описание криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция ограничена сверху параболой \( y = 2x - x^2 \), снизу отрезком \([0; 2]\) оси \(Ox\). Боковые границы — прямые \(x=0\) (ось \(Oy\)) и \(x=2\).