ГДЗ: Упражнение 1002 - § 56 (Площадь криволинейной трапеции и интеграл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Запись формулы площади.

Функцию запишем в виде степени: \( f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \). На отрезке \([1; 8]\) функция \( x^{\frac{1}{3}} \ge 0 \).

\( S = \int_{1}^{8} x^{\frac{1}{3}} dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^{\frac{1}{3}} \) — это функция \( F(x) = \frac{x^{\frac{1}{3} + 1}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \sqrt[3]{x^4} \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(8) - F(1) = \frac{3}{4} \sqrt[3]{8^4} - \frac{3}{4} \sqrt[3]{1^4} \)

Шаг 4: Расчет.

• Упростим \( F(8) \): \( \sqrt[3]{8^4} = (\sqrt[3]{8})^4 = 2^4 = 16 \). \( F(8) = \frac{3}{4} \cdot 16 = 3 \cdot 4 = 12 \).
• Упростим \( F(1) \): \( \sqrt[3]{1^4} = 1 \). \( F(1) = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4} \).
• Вычислим площадь: \( S = 12 - \frac{3}{4} = 11 \frac{1}{4} = \frac{45}{4} \).

Ответ: Площадь равна \( 11 \frac{1}{4} \) или \( \frac{45}{4} \) квадратных единиц.

Шаг 1: Запись формулы площади.

Функцию запишем в виде степени: \( f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). На отрезке \([4; 9]\) функция \( x^{\frac{1}{2}} \ge 0 \).

\( S = \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} dx \)

Шаг 2: Нахождение первообразной.

Первообразная функции \( f(x) = x^{\frac{1}{2}} \) — это функция \( F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3} \).

Шаг 3: Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

\( S = F(9) - F(4) = \frac{2}{3} \sqrt{9^3} - \frac{2}{3} \sqrt{4^3} \)

Шаг 4: Расчет.

• Упростим \( F(9) \): \( \sqrt{9^3} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27 \). \( F(9) = \frac{2}{3} \cdot 27 = 2 \cdot 9 = 18 \).
• Упростим \( F(4) \): \( \sqrt{4^3} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8 \). \( F(4) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \).
• Вычислим площадь: \( S = 18 - \frac{16}{3} = \frac{54}{3} - \frac{16}{3} = \frac{38}{3} = 12 \frac{2}{3} \).

Ответ: Площадь равна \( \frac{38}{3} \) или \( 12 \frac{2}{3} \) квадратных единиц.