ГДЗ: Упражнение 1092 - § 64 (Бином Ньютона) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Общая формула для \( (a+b)^m \) имеет вид:

\( (a+b)^m = C_m^0 a^m + C_m^1 a^{m-1}b + C_m^2 a^{m-2}b^2 + \dots + C_m^m b^m \)

В нашем случае \( a=1 \), \( b=x \), и \( m=5 \).

Шаг 2: Запишем разложение.

\( (1+x)^5 = C_5^0 1^5 x^0 + C_5^1 1^4 x^1 + C_5^2 1^3 x^2 + C_5^3 1^2 x^3 + C_5^4 1^1 x^4 + C_5^5 1^0 x^5 \)

Шаг 3: Вычислим биномиальные коэффициенты.

• \( C_5^0 = 1 \)
• \( C_5^1 = \frac{5!}{ (5-1)! 1! } = \frac{5}{1} = 5 \)
• \( C_5^2 = \frac{5!}{ (5-2)! 2! } = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \)
• \( C_5^3 = \frac{5!}{ (5-3)! 3! } = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{2 \cdot 1 \cdot 3} = 10 \) (по свойству симметрии: \( C_m^n = C_m^{m-n} \))
• \( C_5^4 = 5 \)
• \( C_5^5 = 1 \)

Шаг 4: Подставим коэффициенты в разложение.

\( (1+x)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 5 \cdot 1 \cdot x + 10 \cdot 1 \cdot x^2 + 10 \cdot 1 \cdot x^3 + 5 \cdot 1 \cdot x^4 + 1 \cdot 1 \cdot x^5 \)

\( (1+x)^5 = 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5 \)

Ответ: \( 1 + 5x + 10x^2 + 10x^3 + 5x^4 + x^5 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=x \), \( b=1 \), и \( m=6 \). Разложение будет иметь вид:

\( (x+1)^6 = C_6^0 x^6 1^0 + C_6^1 x^5 1^1 + C_6^2 x^4 1^2 + C_6^3 x^3 1^3 + C_6^4 x^2 1^4 + C_6^5 x^1 1^5 + C_6^6 x^0 1^6 \)

Поскольку \( 1^k = 1 \) для любого \( k \), выражение упрощается до:

\( (x+1)^6 = C_6^0 x^6 + C_6^1 x^5 + C_6^2 x^4 + C_6^3 x^3 + C_6^4 x^2 + C_6^5 x + C_6^6 \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты.

• \( C_6^0 = 1 \)
• \( C_6^1 = 6 \)
• \( C_6^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \)
• \( C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \)
• \( C_6^4 = C_6^2 = 15 \) (по свойству симметрии)
• \( C_6^5 = C_6^1 = 6 \)
• \( C_6^6 = 1 \)

Шаг 3: Подставим коэффициенты в разложение.

\( (x+1)^6 = 1 \cdot x^6 + 6 \cdot x^5 + 15 \cdot x^4 + 20 \cdot x^3 + 15 \cdot x^2 + 6 \cdot x + 1 \)

Ответ: \( x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Представим \( (a-1)^9 \) как \( (a+(-1))^9 \). Здесь \( a_\text{бином} = a \), \( b_\text{бином} = -1 \), и \( m=9 \).

\( (a+(-1))^9 = \sum_{k=0}^{9} C_9^k a^{9-k} (-1)^k \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты.

Помним, что \( C_9^k = C_9^{9-k} \).

• \( C_9^0 = 1 \)
• \( C_9^1 = 9 \)
• \( C_9^2 = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36 \)
• \( C_9^3 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84 \)
• \( C_9^4 = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 9 \cdot 2 \cdot 7 = 126 \)
• \( C_9^5 = 126 \), \( C_9^6 = 84 \), \( C_9^7 = 36 \), \( C_9^8 = 9 \), \( C_9^9 = 1 \)

Шаг 3: Подставим коэффициенты и учтем знак \( (-1)^k \).

Знак \( (-1)^k \) чередуется: \( (-1)^0=1 \), \( (-1)^1=-1 \), \( (-1)^2=1 \), и т.д.

\( (a-1)^9 = C_9^0 a^9 (-1)^0 + C_9^1 a^8 (-1)^1 + C_9^2 a^7 (-1)^2 + C_9^3 a^6 (-1)^3 + C_9^4 a^5 (-1)^4 + C_9^5 a^4 (-1)^5 + C_9^6 a^3 (-1)^6 + C_9^7 a^2 (-1)^7 + C_9^8 a^1 (-1)^8 + C_9^9 a^0 (-1)^9 \)

\( (a-1)^9 = 1 \cdot a^9 - 9 \cdot a^8 + 36 \cdot a^7 - 84 \cdot a^6 + 126 \cdot a^5 - 126 \cdot a^4 + 84 \cdot a^3 - 36 \cdot a^2 + 9 \cdot a - 1 \)

Ответ: \( a^9 - 9a^8 + 36a^7 - 84a^6 + 126a^5 - 126a^4 + 84a^3 - 36a^2 + 9a - 1 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Представим \( (y-1)^{10} \) как \( (y+(-1))^{10} \). Здесь \( a=y \), \( b=-1 \), и \( m=10 \).

Разложение будет: \( (y-1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} C_{10}^k y^{10-k} (-1)^k \).

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты.

Используем свойство симметрии \( C_{10}^k = C_{10}^{10-k} \).

• \( C_{10}^0 = 1 \)
• \( C_{10}^1 = 10 \)
• \( C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \)
• \( C_{10}^3 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120 \)
• \( C_{10}^4 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210 \)
• \( C_{10}^5 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 = 252 \)
• \( C_{10}^k \) для \( k>5 \) симметричны: \( 210, 120, 45, 10, 1 \)

Шаг 3: Подставим коэффициенты и учтем знак \( (-1)^k \).

Поскольку степень \( m=10 \) четная, последний член будет иметь знак \( (-1)^{10} = 1 \). Знаки будут чередоваться, начиная с плюса.

\( (y-1)^{10} = 1 \cdot y^{10} - 10 \cdot y^9 + 45 \cdot y^8 - 120 \cdot y^7 + 210 \cdot y^6 - 252 \cdot y^5 + 210 \cdot y^4 - 120 \cdot y^3 + 45 \cdot y^2 - 10 \cdot y + 1 \)

Ответ: \( y^{10} - 10y^9 + 45y^8 - 120y^7 + 210y^6 - 252y^5 + 210y^4 - 120y^3 + 45y^2 - 10y + 1 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=2x \), \( b=1 \), и \( m=5 \).

\( (2x+1)^5 = C_5^0 (2x)^5 1^0 + C_5^1 (2x)^4 1^1 + C_5^2 (2x)^3 1^2 + C_5^3 (2x)^2 1^3 + C_5^4 (2x)^1 1^4 + C_5^5 (2x)^0 1^5 \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени \( (2x) \).

Коэффициенты: \( 1, 5, 10, 10, 5, 1 \).

• \( k=0 \): \( C_5^0 (2x)^5 = 1 \cdot 32x^5 = 32x^5 \)
• \( k=1 \): \( C_5^1 (2x)^4 = 5 \cdot 16x^4 = 80x^4 \)
• \( k=2 \): \( C_5^2 (2x)^3 = 10 \cdot 8x^3 = 80x^3 \)
• \( k=3 \): \( C_5^3 (2x)^2 = 10 \cdot 4x^2 = 40x^2 \)
• \( k=4 \): \( C_5^4 (2x)^1 = 5 \cdot 2x = 10x \)
• \( k=5 \): \( C_5^5 (2x)^0 = 1 \cdot 1 = 1 \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (2x+1)^5 = 32x^5 + 80x^4 + 80x^3 + 40x^2 + 10x + 1 \)

Ответ: \( 32x^5 + 80x^4 + 80x^3 + 40x^2 + 10x + 1 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=x \), \( b=2 \), и \( m=6 \).

\( (x+2)^6 = C_6^0 x^6 2^0 + C_6^1 x^5 2^1 + C_6^2 x^4 2^2 + C_6^3 x^3 2^3 + C_6^4 x^2 2^4 + C_6^5 x^1 2^5 + C_6^6 x^0 2^6 \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени \( 2^k \).

Коэффициенты: \( 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 \).

• \( k=0 \): \( C_6^0 x^6 2^0 = 1 \cdot x^6 \cdot 1 = x^6 \)
• \( k=1 \): \( C_6^1 x^5 2^1 = 6 \cdot x^5 \cdot 2 = 12x^5 \)
• \( k=2 \): \( C_6^2 x^4 2^2 = 15 \cdot x^4 \cdot 4 = 60x^4 \)
• \( k=3 \): \( C_6^3 x^3 2^3 = 20 \cdot x^3 \cdot 8 = 160x^3 \)
• \( k=4 \): \( C_6^4 x^2 2^4 = 15 \cdot x^2 \cdot 16 = 240x^2 \)
• \( k=5 \): \( C_6^5 x^1 2^5 = 6 \cdot x \cdot 32 = 192x \)
• \( k=6 \): \( C_6^6 x^0 2^6 = 1 \cdot 1 \cdot 64 = 64 \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64 \)

Ответ: \( x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=3x \), \( b=2 \), и \( m=4 \).

\( (3x+2)^4 = C_4^0 (3x)^4 2^0 + C_4^1 (3x)^3 2^1 + C_4^2 (3x)^2 2^2 + C_4^3 (3x)^1 2^3 + C_4^4 (3x)^0 2^4 \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени \( (3x)^k \) и \( 2^k \).

Коэффициенты: \( 1, 4, 6, 4, 1 \).

• \( k=0 \): \( C_4^0 (3x)^4 2^0 = 1 \cdot 81x^4 \cdot 1 = 81x^4 \)
• \( k=1 \): \( C_4^1 (3x)^3 2^1 = 4 \cdot 27x^3 \cdot 2 = 8 \cdot 27x^3 = 216x^3 \)
• \( k=2 \): \( C_4^2 (3x)^2 2^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot 4 = 24 \cdot 9x^2 = 216x^2 \)
• \( k=3 \): \( C_4^3 (3x)^1 2^3 = 4 \cdot 3x \cdot 8 = 12 \cdot 8x = 96x \)
• \( k=4 \): \( C_4^4 (3x)^0 2^4 = 1 \cdot 1 \cdot 16 = 16 \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (3x+2)^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \)

Ответ: \( 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 96x + 16 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a_\text{бином}=2a \), \( b_\text{бином}=3b \), и \( m=3 \).

\( (2a+3b)^3 = C_3^0 (2a)^3 (3b)^0 + C_3^1 (2a)^2 (3b)^1 + C_3^2 (2a)^1 (3b)^2 + C_3^3 (2a)^0 (3b)^3 \)

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени.

Коэффициенты: \( 1, 3, 3, 1 \).

• \( k=0 \): \( C_3^0 (2a)^3 (3b)^0 = 1 \cdot 8a^3 \cdot 1 = 8a^3 \)
• \( k=1 \): \( C_3^1 (2a)^2 (3b)^1 = 3 \cdot 4a^2 \cdot 3b = 36a^2b \)
• \( k=2 \): \( C_3^2 (2a)^1 (3b)^2 = 3 \cdot 2a \cdot 9b^2 = 54ab^2 \)
• \( k=3 \): \( C_3^3 (2a)^0 (3b)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 27b^3 = 27b^3 \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (2a+3b)^3 = 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \)

Ответ: \( 8a^3 + 36a^2b + 54ab^2 + 27b^3 \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Представим \( (2a-\frac{1}{2})^5 \) как \( (2a+(-\frac{1}{2}))^5 \). Здесь \( a_\text{бином}=2a \), \( b_\text{бином}=-\frac{1}{2} \), и \( m=5 \).

Разложение будет: \( \sum_{k=0}^{5} C_5^k (2a)^{5-k} (-\frac{1}{2})^k \).

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени.

Коэффициенты: \( 1, 5, 10, 10, 5, 1 \). Знаки будут чередоваться.

• \( k=0 \): \( C_5^0 (2a)^5 (-\frac{1}{2})^0 = 1 \cdot 32a^5 \cdot 1 = 32a^5 \)
• \( k=1 \): \( C_5^1 (2a)^4 (-\frac{1}{2})^1 = 5 \cdot 16a^4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -40a^4 \)
• \( k=2 \): \( C_5^2 (2a)^3 (-\frac{1}{2})^2 = 10 \cdot 8a^3 \cdot \frac{1}{4} = 20a^3 \)
• \( k=3 \): \( C_5^3 (2a)^2 (-\frac{1}{2})^3 = 10 \cdot 4a^2 \cdot (-\frac{1}{8}) = -5a^2 \)
• \( k=4 \): \( C_5^4 (2a)^1 (-\frac{1}{2})^4 = 5 \cdot 2a \cdot \frac{1}{16} = \frac{10}{16}a = \frac{5}{8}a \)
• \( k=5 \): \( C_5^5 (2a)^0 (-\frac{1}{2})^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{32}) = -\frac{1}{32} \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (2a-\frac{1}{2})^5 = 32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{5}{8}a - \frac{1}{32} \)

Ответ: \( 32a^5 - 40a^4 + 20a^3 - 5a^2 + \frac{5}{8}a - \frac{1}{32} \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Представим \( (3x-\frac{1}{3})^4 \) как \( (3x+(-\frac{1}{3}))^4 \). Здесь \( a_\text{бином}=3x \), \( b_\text{бином}=-\frac{1}{3} \), и \( m=4 \).

Разложение будет: \( \sum_{k=0}^{4} C_4^k (3x)^{4-k} (-\frac{1}{3})^k \).

Шаг 2: Вычислим биномиальные коэффициенты и степени.

Коэффициенты: \( 1, 4, 6, 4, 1 \). Знаки будут чередоваться.

• \( k=0 \): \( C_4^0 (3x)^4 (-\frac{1}{3})^0 = 1 \cdot 81x^4 \cdot 1 = 81x^4 \)
• \( k=1 \): \( C_4^1 (3x)^3 (-\frac{1}{3})^1 = 4 \cdot 27x^3 \cdot (-\frac{1}{3}) = -4 \cdot 9x^3 = -36x^3 \)
• \( k=2 \): \( C_4^2 (3x)^2 (-\frac{1}{3})^2 = 6 \cdot 9x^2 \cdot \frac{1}{9} = 6x^2 \)
• \( k=3 \): \( C_4^3 (3x)^1 (-\frac{1}{3})^3 = 4 \cdot 3x \cdot (-\frac{1}{27}) = -\frac{12}{27}x = -\frac{4}{9}x \)
• \( k=4 \): \( C_4^4 (3x)^0 (-\frac{1}{3})^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{81} = \frac{1}{81} \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (3x-\frac{1}{3})^4 = 81x^4 - 36x^3 + 6x^2 - \frac{4}{9}x + \frac{1}{81} \)

Ответ: \( 81x^4 - 36x^3 + 6x^2 - \frac{4}{9}x + \frac{1}{81} \)