ГДЗ: Упражнение 1096 - § 64 (Бином Ньютона) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Определим общий член разложения.

Степень бинома: \( m=12 \).

• Первый член: \( a=\sqrt[3]{x} = x^{1/3} \).
• Второй член: \( b=\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2} \).

Общий член \( T_{k+1} \) имеет вид:

\( T_{k+1} = C_{12}^k a^{12-k} b^k = C_{12}^k (x^{1/3})^{12-k} (x^{-1/2})^k \)

Шаг 2: Найдем степень \( x \).

Степень \( x \) в общем члене:

\( \frac{1}{3}(12-k) + (-\frac{1}{2})k = 4 - \frac{k}{3} - \frac{k}{2} = 4 - k (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = 4 - k \frac{5}{6} \)

Шаг 3: Приравняем степень \( x \) к \(-1\).

Ищем член, содержащий \( x^{-1} \), поэтому приравниваем степень \( x \) к \(-1\):

\( 4 - \frac{5k}{6} = -1 \)

\( 5 = \frac{5k}{6} \)

\( 1 = \frac{k}{6} \), откуда \( k=6 \).

Шаг 4: Вычислим член \( T_{k+1} \).

Искомый член - \( T_{6+1} = T_7 \), где \( k=6 \).

\( T_7 = C_{12}^6 x^{-1} \)

Вычислим коэффициент \( C_{12}^6 \):

\( C_{12}^6 = \frac{12!}{ 6! 6! } = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{12}{6 \cdot 2} \cdot \frac{10}{5} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 11 \cdot 7 = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 7 = 924 \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_7 = 924 x^{-1} \) или \( \frac{924}{x} \)

Ответ: \( \frac{924}{x} \)

Шаг 1: Определим общий член разложения.

Степень бинома: \( m=16 \).

• Первый член: \( a=\sqrt{x} = x^{1/2} \).
• Второй член: \( b=\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3} \).

Общий член \( T_{k+1} \) имеет вид:

\( T_{k+1} = C_{16}^k a^{16-k} b^k = C_{16}^k (x^{1/2})^{16-k} (x^{-1/3})^k \)

Шаг 2: Найдем степень \( x \).

Степень \( x \) в общем члене:

\( \frac{1}{2}(16-k) + (-\frac{1}{3})k = 8 - \frac{k}{2} - \frac{k}{3} = 8 - k (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = 8 - k \frac{5}{6} \)

Шаг 3: Приравняем степень \( x \) к \( 3 \).

Ищем член, содержащий \( x^3 \), поэтому приравниваем степень \( x \) к \( 3 \):

\( 8 - \frac{5k}{6} = 3 \)

\( 5 = \frac{5k}{6} \)

\( 1 = \frac{k}{6} \), откуда \( k=6 \).

Шаг 4: Вычислим член \( T_{k+1} \).

Искомый член - \( T_{6+1} = T_7 \), где \( k=6 \).

\( T_7 = C_{16}^6 x^3 \)

Вычислим коэффициент \( C_{16}^6 \):

\( C_{16}^6 = \frac{16!}{ 10! 6! } = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \)

\( C_{16}^6 = \frac{16}{4 \cdot 2} \cdot \frac{15}{5 \cdot 3} \cdot \frac{12}{6} \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 11 = 4 \cdot 2002 = 8008 \)

Шаг 5: Запишем окончательный вид члена.

\( T_7 = 8008 x^3 \)

Ответ: \( 8008x^3 \)