ГДЗ: Упражнение 1093 - § 64 (Бином Ньютона) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=1 \), \( b=\sqrt{2} \), и \( m=5 \).

\( (1+\sqrt{2})^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k 1^{5-k} (\sqrt{2})^k = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (\sqrt{2})^k \)

Коэффициенты: \( C_5^0=1, C_5^1=5, C_5^2=10, C_5^3=10, C_5^4=5, C_5^5=1 \).

Шаг 2: Вычислим степени \( (\sqrt{2})^k \).

• \( (\sqrt{2})^0 = 1 \)
• \( (\sqrt{2})^1 = \sqrt{2} \)
• \( (\sqrt{2})^2 = 2 \)
• \( (\sqrt{2})^3 = 2\sqrt{2} \)
• \( (\sqrt{2})^4 = 4 \)
• \( (\sqrt{2})^5 = 4\sqrt{2} \)

Шаг 3: Запишем разложение и приведем подобные слагаемые.

\( (1+\sqrt{2})^5 = 1 \cdot 1 + 5 \cdot \sqrt{2} + 10 \cdot 2 + 10 \cdot 2\sqrt{2} + 5 \cdot 4 + 1 \cdot 4\sqrt{2} \)

\( (1+\sqrt{2})^5 = (1 + 20 + 20) + (5\sqrt{2} + 20\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) \)

\( (1+\sqrt{2})^5 = 41 + 29\sqrt{2} \)

Ответ: \( 41 + 29\sqrt{2} \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a=1 \), \( b=\sqrt{3} \), и \( m=5 \).

\( (1+\sqrt{3})^5 = \sum_{k=0}^{5} C_5^k (\sqrt{3})^k \)

Коэффициенты: \( 1, 5, 10, 10, 5, 1 \).

Шаг 2: Вычислим степени \( (\sqrt{3})^k \).

• \( (\sqrt{3})^0 = 1 \)
• \( (\sqrt{3})^1 = \sqrt{3} \)
• \( (\sqrt{3})^2 = 3 \)
• \( (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3} \)
• \( (\sqrt{3})^4 = 9 \)
• \( (\sqrt{3})^5 = 9\sqrt{3} \)

Шаг 3: Запишем разложение и приведем подобные слагаемые.

\( (1+\sqrt{3})^5 = 1 \cdot 1 + 5 \cdot \sqrt{3} + 10 \cdot 3 + 10 \cdot 3\sqrt{3} + 5 \cdot 9 + 1 \cdot 9\sqrt{3} \)

\( (1+\sqrt{3})^5 = (1 + 30 + 45) + (5\sqrt{3} + 30\sqrt{3} + 9\sqrt{3}) \)

\( (1+\sqrt{3})^5 = 76 + 44\sqrt{3} \)

Ответ: \( 76 + 44\sqrt{3} \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a_\text{бином}=a \), \( b_\text{бином}=-\frac{1}{3a} \), и \( m=7 \).

Разложение будет: \( \sum_{k=0}^{7} C_7^k a^{7-k} (-\frac{1}{3a})^k \).

Шаг 2: Запишем разложение.

Используем формулу и учитываем, что \( (-\frac{1}{3a})^k = (-\frac{1}{3})^k \cdot (a^{-1})^k = (-\frac{1}{3})^k a^{-k} \).

\( T_{k+1} = C_7^k a^{7-k} (-\frac{1}{3})^k a^{-k} = C_7^k (-\frac{1}{3})^k a^{7-2k} \)

• \( k=0 \): \( C_7^0 (-\frac{1}{3})^0 a^7 = 1 \cdot 1 \cdot a^7 = a^7 \)
• \( k=1 \): \( C_7^1 (-\frac{1}{3})^1 a^5 = 7 \cdot (-\frac{1}{3}) a^5 = -\frac{7}{3}a^5 \)
• \( k=2 \): \( C_7^2 (-\frac{1}{3})^2 a^3 = 21 \cdot \frac{1}{9} a^3 = \frac{7}{3}a^3 \)
• \( k=3 \): \( C_7^3 (-\frac{1}{3})^3 a^1 = 35 \cdot (-\frac{1}{27}) a = -\frac{35}{27}a \)
• \( k=4 \): \( C_7^4 (-\frac{1}{3})^4 a^{-1} = 35 \cdot \frac{1}{81} a^{-1} = \frac{35}{81a} \)
• \( k=5 \): \( C_7^5 (-\frac{1}{3})^5 a^{-3} = 21 \cdot (-\frac{1}{243}) a^{-3} = -\frac{7}{81a^3} \)
• \( k=6 \): \( C_7^6 (-\frac{1}{3})^6 a^{-5} = 7 \cdot \frac{1}{729} a^{-5} = \frac{7}{729a^5} \)
• \( k=7 \): \( C_7^7 (-\frac{1}{3})^7 a^{-7} = 1 \cdot (-\frac{1}{2187}) a^{-7} = -\frac{1}{2187a^7} \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (a-\frac{1}{3a})^7 = a^7 - \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{3}a^3 - \frac{35}{27}a + \frac{35}{81a} - \frac{7}{81a^3} + \frac{7}{729a^5} - \frac{1}{2187a^7} \)

Ответ: \( a^7 - \frac{7}{3}a^5 + \frac{7}{3}a^3 - \frac{35}{27}a + \frac{35}{81a} - \frac{7}{81a^3} + \frac{7}{729a^5} - \frac{1}{2187a^7} \)

Шаг 1: Применим формулу Бинома Ньютона.

Здесь \( a_\text{бином}=b \), \( b_\text{бином}=-\frac{1}{2b} \), и \( m=6 \).

Общий член: \( T_{k+1} = C_6^k b^{6-k} (-\frac{1}{2b})^k = C_6^k b^{6-k} (-\frac{1}{2})^k b^{-k} = C_6^k (-\frac{1}{2})^k b^{6-2k} \).

Шаг 2: Запишем разложение.

Коэффициенты: \( C_6^0=1, C_6^1=6, C_6^2=15, C_6^3=20, C_6^4=15, C_6^5=6, C_6^6=1 \). Знаки чередуются.

• \( k=0 \): \( C_6^0 (-\frac{1}{2})^0 b^6 = 1 \cdot 1 \cdot b^6 = b^6 \)
• \( k=1 \): \( C_6^1 (-\frac{1}{2})^1 b^4 = 6 \cdot (-\frac{1}{2}) b^4 = -3b^4 \)
• \( k=2 \): \( C_6^2 (-\frac{1}{2})^2 b^2 = 15 \cdot \frac{1}{4} b^2 = \frac{15}{4}b^2 \)
• \( k=3 \): \( C_6^3 (-\frac{1}{2})^3 b^0 = 20 \cdot (-\frac{1}{8}) \cdot 1 = -\frac{5}{2} \)
• \( k=4 \): \( C_6^4 (-\frac{1}{2})^4 b^{-2} = 15 \cdot \frac{1}{16} b^{-2} = \frac{15}{16b^2} \)
• \( k=5 \): \( C_6^5 (-\frac{1}{2})^5 b^{-4} = 6 \cdot (-\frac{1}{32}) b^{-4} = -\frac{3}{16b^4} \)
• \( k=6 \): \( C_6^6 (-\frac{1}{2})^6 b^{-6} = 1 \cdot \frac{1}{64} b^{-6} = \frac{1}{64b^6} \)

Шаг 3: Сложим члены.

\( (b-\frac{1}{2b})^6 = b^6 - 3b^4 + \frac{15}{4}b^2 - \frac{5}{2} + \frac{15}{16b^2} - \frac{3}{16b^4} + \frac{1}{64b^6} \)

Ответ: \( b^6 - 3b^4 + \frac{15}{4}b^2 - \frac{5}{2} + \frac{15}{16b^2} - \frac{3}{16b^4} + \frac{1}{64b^6} \)