ГДЗ: Упражнение 1159 - § 70 (Статистическая вероятность) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Пояснение: Это задание иллюстрирует Закон больших чисел. Для игрального кубика (с 6 равновозможными гранями) теоретическая (классическая) вероятность выпадения числа 1 равна \( P(A) = \frac{1}{6} \). Наша задача — показать, что относительная частота \( W = \frac{M}{N} \) при увеличении \(N\) будет приближаться к \( \frac{1}{6} \).

• Шаг 1: Определяем классическую вероятность.
  Общее число исходов \( = 6 \). Число благоприятных исходов (выпадение числа 1) \( = 1 \).
  Классическая вероятность: \( P(A) = \frac{1}{6} \).
  Десятичное значение: \( \frac{1}{6} \approx 0.16666... \).
• Шаг 2: Демонстрируем принцип на примере предполагаемых результатов (так как фактические результаты испытаний не даны).
  Нам нужно, чтобы для больших \(N\) относительная частота \(W\) была ближе к \( 0.1666... \) , чем для малых \(N\).
• Шаг 3: Предполагаемые результаты испытаний и расчет относительной частоты \(W\):
  1. \( N_1=10 \). Предположим, число 1 выпало \( M_1=1 \) раз.
  \( W_1 = \frac{1}{10} = 0.1 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.1| = 0.0667 \).
  2. \( N_2=20 \). Предположим, число 1 выпало \( M_2=4 \) раза.
  \( W_2 = \frac{4}{20} = 0.2 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.2| = 0.0333 \). (Отклонение уменьшилось).
  3. \( N_3=40 \). Предположим, число 1 выпало \( M_3=6 \) раз.
  \( W_3 = \frac{6}{40} = 0.15 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.15| = 0.0167 \). (Отклонение уменьшилось).
  4. \( N_4=50 \). Предположим, число 1 выпало \( M_4=8 \) раз.
  \( W_4 = \frac{8}{50} = 0.16 \). Отклонение от \( \frac{1}{6} \) : \( |0.1667 - 0.16| = 0.0067 \). (Отклонение существенно уменьшилось).

Вывод (Убеждение): Как видно из расчетов (на основе предполагаемых, но реалистичных данных), отклонение относительной частоты \(W\) от классической вероятности \( \frac{1}{6} \) (или \( 0.1667 \)) уменьшается с увеличением числа испытаний \(N\). Это подтверждает, что относительная частота стабилизируется и приближается к теоретической вероятности, что является иллюстрацией Закона больших чисел.

Ответ: Требуемое убеждение подтверждается теоретическим принципом и ожидаемым поведением относительной частоты: с ростом числа испытаний \(N\), значение относительной частоты \( W = \frac{M}{N} \) будет приближаться к классической вероятности \( P(A) = \frac{1}{6} \).

Определение вероятности, применимое при изучении случайных явлений в естествознании, когда теоретически не удается выявить все элементарные равновозможные исходы. Вероятность приближенно равна относительной частоте события в большой серии испытаний.

Отношение числа испытаний \(M\), в которых произошло интересующее событие, к общему числу проведенных испытаний \(N\). При большом числе испытаний относительная частота стабилизируется около некоторого постоянного числа, которое принимают за вероятность события.

При увеличении числа испытаний \(N\), относительная частота события \(W\) приближается к его теоретической вероятности \(P\).