ГДЗ: Упражнение 240 - § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение второго уравнения.

Приведем второе уравнение \( 5^{x+y} = 25 \) к одинаковому основанию \( 5 \):

• \( 5^{x+y} = 5^2 \).

Поскольку основания равны (\( 5 > 1 \)), приравниваем показатели:

• \( x + y = 2 \).

Шаг 2: Решение полученной линейной системы.

Получаем систему линейных уравнений:

• \( \begin{cases} 2x - y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} \).

Сложим оба уравнения (метод сложения), чтобы исключить переменную \( y \):

• \( (2x - y) + (x + y) = 1 + 2 \)
• \( 3x = 3 \).
• \( x = 1 \).

Шаг 3: Нахождение значения \( y \).

Подставим найденное значение \( x = 1 \) во второе линейное уравнение \( x + y = 2 \):

• \( 1 + y = 2 \).
• \( y = 2 - 1 = 1 \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (1; 1) \).

Шаг 1: Упрощение второго уравнения.

Приведем второе уравнение \( 3^{x^2 + y} = \frac{1}{9} \) к основанию \( 3 \):

• \( 3^{x^2 + y} = 3^{-2} \).

Приравниваем показатели:

• \( x^2 + y = -2 \).

Шаг 2: Использование метода подстановки.

Из первого уравнения выразим \( y \) через \( x \):

• \( y = x - 2 \).

Подставим это выражение во второе (упрощенное) уравнение:

• \( x^2 + (x - 2) = -2 \).
• \( x^2 + x - 2 = -2 \).
• \( x^2 + x = 0 \).

Шаг 3: Решение квадратного уравнения.

Вынесем \( x \) за скобки:

• \( x(x + 1) = 0 \).

Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -1 \).

Шаг 4: Нахождение значений \( y \).

Для каждого \( x \) найдем соответствующий \( y \) с помощью формулы \( y = x - 2 \):

• Если \( x_1 = 0 \), то \( y_1 = 0 - 2 = -2 \). Первая пара: \( (0; -2) \).
• Если \( x_2 = -1 \), то \( y_2 = -1 - 2 = -3 \). Вторая пара: \( (-1; -3) \).

Ответ: Решениями системы являются пары чисел \( (0; -2) \) и \( (-1; -3) \).

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

• Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
• Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).