ГДЗ: Упражнение 241 - § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение первого уравнения.

Приведем все степени к основанию \( 2 \):

• \( 4^x \cdot 2^y = 32 \iff (2^2)^x \cdot 2^y = 2^5 \).
• \( 2^{2x} \cdot 2^y = 2^5 \).
• \( 2^{2x + y} = 2^5 \).

Приравниваем показатели: \( 2x + y = 5 \).

Шаг 2: Упрощение второго уравнения.

Поскольку основания равны (\( 3 > 1 \)), приравниваем показатели:

• \( x + y + 1 = 3y \).
• \( x - 2y = -1 \).

Шаг 3: Решение полученной линейной системы.

Получаем систему:

• \( \begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - 2y = -1 \end{cases} \).

Умножим первое уравнение на \( 2 \) и сложим со вторым:

• \( 2(2x + y) + (x - 2y) = 2(5) + (-1) \).
• \( 4x + 2y + x - 2y = 10 - 1 \).
• \( 5x = 9 \).
• \( x = \frac{9}{5} \).

Шаг 4: Нахождение значения \( y \).

Подставим \( x = \frac{9}{5} \) в уравнение \( 2x + y = 5 \):

• \( 2 \left( \frac{9}{5} \right) + y = 5 \).
• \( \frac{18}{5} + y = 5 \).
• \( y = 5 - \frac{18}{5} = \frac{25 - 18}{5} = \frac{7}{5} \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( \left( \frac{9}{5}; \frac{7}{5} \right) \).

Шаг 1: Упрощение первого уравнения.

Приведем правую часть к основанию \( 3 \): \( 81 = 3^4 \). Приравниваем показатели:

• \( 3x - 2y = 4 \).

Шаг 2: Упрощение второго уравнения.

Используем свойство \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \) и приведем правую часть к основанию \( 3 \): \( 27 = 3^3 \).

• \( 3^{x + 2y} = 3^3 \).

Приравниваем показатели:

• \( x + 2y = 3 \).

Шаг 3: Решение полученной линейной системы.

Получаем систему:

• \( \begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + 2y = 3 \end{cases} \).

Сложим оба уравнения (метод сложения), чтобы исключить переменную \( y \):

• \( (3x - 2y) + (x + 2y) = 4 + 3 \).
• \( 4x = 7 \).
• \( x = \frac{7}{4} \).

Шаг 4: Нахождение значения \( y \).

Подставим \( x = \frac{7}{4} \) во второе линейное уравнение \( x + 2y = 3 \):

• \( \frac{7}{4} + 2y = 3 \).
• \( 2y = 3 - \frac{7}{4} = \frac{12 - 7}{4} = \frac{5}{4} \).
• \( y = \frac{5}{8} \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( \left( \frac{7}{4}; \frac{5}{8} \right) \).

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

• Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
• Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).