ГДЗ: Упражнение 245 - § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упрощение первых двух уравнений.

Упростим первое уравнение, используя свойство \( (a^x)^y = a^{xy} \):

• \( 5^{xy} = 5^{21} \Rightarrow xy = 21 \).

Упростим второе уравнение, используя свойство \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \):

• \( 5^{x+y} = 5^{10} \Rightarrow x + y = 10 \).

Шаг 2: Решение системы двух уравнений.

Решаем систему: \( \begin{cases} x + y = 10 \\ xy = 21 \end{cases} \).

По теореме, обратной теореме Виета, \( x \) и \( y \) являются корнями квадратного уравнения \( t^2 - 10t + 21 = 0 \). Корни: \( t_1 = 7, t_2 = 3 \).
Решения системы: \( (7; 3) \) и \( (3; 7) \).

Шаг 3: Решение третьего неравенства.

Упростим неравенство \( 3^x > 3^y \). Поскольку основание \( 3 > 1 \), сохраняем знак неравенства для показателей:

• \( x > y \).

Шаг 4: Нахождение окончательного решения.

Проверим найденные пары в неравенстве \( x > y \):

• Проверим \( (7; 3) \): \( 7 > 3 \) — верно.
• Проверим \( (3; 7) \): \( 3 > 7 \) — неверно.

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (7; 3) \).

Шаг 1: Упрощение первых двух уравнений.

Упростим первое уравнение, приведя к основанию \( 0.2 \): \( 0.2^{xy} = (0.2)^3 \). Приравниваем показатели:

• \( xy = 3 \).

Упростим второе уравнение. Поскольку основания равны (\( 0.4 \ne 1 \)), приравниваем показатели:

• \( y = 3.5 - x \).

Шаг 2: Решение системы двух уравнений.

Подставим \( y = 3.5 - x \) в первое уравнение \( xy = 3 \):

• \( x(3.5 - x) = 3 \).
• \( 3.5x - x^2 = 3 \).
• \( x^2 - 3.5x + 3 = 0 \).

Умножим на \( 2 \) для удобства: \( 2x^2 - 7x + 6 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1 \).

Корни уравнения: \( x = \frac{7 \pm 1}{4} \).
Получаем \( x_1 = \frac{8}{4} = 2 \) и \( x_2 = \frac{6}{4} = 1.5 \).

Находим соответствующие \( y \):

• Если \( x_1 = 2 \), то \( y_1 = 3.5 - 2 = 1.5 \). Пара \( (2; 1.5) \).
• Если \( x_2 = 1.5 \), то \( y_2 = 3.5 - 1.5 = 2 \). Пара \( (1.5; 2) \).

Шаг 3: Решение третьего неравенства.

Упростим неравенство \( 2^x \cdot 0.5^y > 1 \). Используем \( 0.5 = 2^{-1} \) и \( 1 = 2^0 \):

• \( 2^x \cdot (2^{-1})^y > 2^0 \).
• \( 2^x \cdot 2^{-y} > 2^0 \).
• \( 2^{x - y} > 2^0 \).

Поскольку основание \( 2 > 1 \), сохраняем знак неравенства для показателей:

• \( x - y > 0 \Rightarrow x > y \).

Шаг 4: Нахождение окончательного решения.

Проверим найденные пары в неравенстве \( x > y \):

• Проверим \( (2; 1.5) \): \( 2 > 1.5 \) — верно.
• Проверим \( (1.5; 2) \): \( 1.5 > 2 \) — неверно.

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (2; 1.5) \).

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

• Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
• Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).