ГДЗ: Упражнение 242 - § 14 (Системы показательных уравнений и неравенств) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Замена переменных.

Введем новые переменные: \( u = 2^x \) и \( v = 2^y \). Поскольку показательная функция всегда положительна, \( u > 0 \) и \( v > 0 \).

Система принимает вид:

• \( \begin{cases} u + v = 6 \\ u - v = 2 \end{cases} \).

Шаг 2: Решение линейной системы относительно \( u \) и \( v \).

Сложим уравнения:

• \( (u + v) + (u - v) = 6 + 2 \).
• \( 2u = 8 \).
• \( u = 4 \).

Вычтем второе уравнение из первого, или подставим \( u \): \( 4 + v = 6 \Rightarrow v = 2 \).

Шаг 3: Обратная замена.

Вернемся к переменным \( x \) и \( y \):

• \( u = 2^x \Rightarrow 2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2 \).
• \( v = 2^y \Rightarrow 2^y = 2 \Rightarrow 2^y = 2^1 \Rightarrow y = 1 \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (2; 1) \).

Шаг 1: Замена переменных.

Введем новые переменные: \( u = 3^x \) и \( v = 5^y \). При этом \( u > 0 \) и \( v > 0 \).

Система принимает вид:

• \( \begin{cases} u + v = 8 \\ u - v = -2 \end{cases} \).

Шаг 2: Решение линейной системы относительно \( u \) и \( v \).

Сложим уравнения:

• \( (u + v) + (u - v) = 8 + (-2) \).
• \( 2u = 6 \).
• \( u = 3 \).

Подставим \( u = 3 \) в первое уравнение \( u + v = 8 \): \( 3 + v = 8 \Rightarrow v = 5 \).

Шаг 3: Обратная замена.

Вернемся к переменным \( x \) и \( y \):

• \( u = 3^x \Rightarrow 3^x = 3 \Rightarrow 3^x = 3^1 \Rightarrow x = 1 \).
• \( v = 5^y \Rightarrow 5^y = 5 \Rightarrow 5^y = 5^1 \Rightarrow y = 1 \).

Ответ: Решением системы является пара чисел \( (1; 1) \).

При решении показательных уравнений и систем необходимо использовать основные свойства степеней для приведения выражений к одинаковому основанию и упрощения. Ключевые свойства: умножение степеней с одинаковым основанием \( a^x \cdot a^y = a^{x+y} \), деление степеней \( a^x / a^y = a^{x-y} \), возведение степени в степень \( (a^x)^y = a^{xy} \), и представление дроби \( 1/a^n = a^{-n} \).

Показательное уравнение \( a^{f(x)} = a^{g(x)} \) равносильно алгебраическому уравнению \( f(x) = g(x) \) при условии, что основание \( a > 0 \) и \( a \ne 1 \).

При решении показательного неравенства \( a^{f(x)} > a^{g(x)} \) знак неравенства для показателей зависит от основания \( a \):

• Если \( a > 1 \), то \( f(x) > g(x) \).
• Если \( 0 < a < 1 \), то \( f(x) < g(x) \).

Для систем вида \( \begin{cases} F(a^x, a^y) = c_1 \\ G(a^x, a^y) = c_2 \end{cases} \) часто применяется замена переменных: \( u = a^x \) и \( v = a^y \), где \( u > 0 \) и \( v > 0 \). Это приводит систему к более простому алгебраическому виду относительно \( u \) и \( v \).