ГДЗ: Упражнение 476 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg} \alpha \)

• \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)

• \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \)

Подставим эти выражения в дробь:

\( \frac{\text{tg}(-\alpha) \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)} = \frac{(-\text{tg} \alpha) \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha + (-\sin \alpha)} = \frac{-\text{tg} \alpha \cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \)

Шаг 2: Выразим тангенс через синус и косинус.

Используем тождество \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) в числителе:

Числитель: \( -\text{tg} \alpha \cos \alpha + \sin \alpha = -\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right) \cos \alpha + \sin \alpha \)

Сократим \( \cos \alpha \) (предполагая \( \cos \alpha \neq 0 \)):

\( -\sin \alpha + \sin \alpha = 0 \)

Шаг 3: Вычислим значение дроби.

Поскольку числитель равен нулю, а знаменатель \( \cos \alpha - \sin \alpha \) не равен нулю (для выражения существует, иначе тангенс не определён), то значение всей дроби равно нулю.

\( \frac{0}{\cos \alpha - \sin \alpha} = 0 \)

Ответ: \( 0 \).

Шаг 1: Упростим произведение.

Произведение \( \text{ctg} \alpha \left(-\sin \alpha\right) \) равно \( -\text{ctg} \alpha \sin \alpha \).

Исходное выражение примет вид:

\( \cos \alpha - \left(-\text{ctg} \alpha \sin \alpha\right) = \cos \alpha + \text{ctg} \alpha \sin \alpha \)

Шаг 2: Выразим котангенс через синус и косинус.

Используем тождество \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \):

\( \cos \alpha + \left(\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right) \sin \alpha \)

Сократим \( \sin \alpha \) (предполагая \( \sin \alpha \neq 0 \)):

\( \cos \alpha + \cos \alpha \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

\( \cos \alpha + \cos \alpha = 2 \cos \alpha \)

Ответ: \( 2 \cos \alpha \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)

• \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \)

Подставим эти выражения в знаменатель:

\( \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos(-\alpha) + \sin(-\alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha}{\cos \alpha - \sin \alpha} \)

Шаг 2: Разложим числитель по формуле разности квадратов.

Используем формулу \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \):

Числитель: \( \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha) \)

Выражение принимает вид:

\( \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos \alpha + \sin \alpha)}{\cos \alpha - \sin \alpha} \)

Шаг 3: Сократим дробь.

Сократим на \( (\cos \alpha - \sin \alpha) \) (предполагая, что \( \cos \alpha - \sin \alpha \neq 0 \)):

\( \cos \alpha + \sin \alpha \)

Ответ: \( \cos \alpha + \sin \alpha \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha \)

• \( \cos^2(-\alpha) = (\cos \alpha)^2 = \cos^2 \alpha \)

Подставим эти выражения в исходное:

\( \text{tg}(\alpha) \text{ctg}(-\alpha) + \cos^2(-\alpha) + \sin^2 \alpha = \)

\( = \text{tg} \alpha \cdot (-\text{ctg} \alpha) + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \)

\( = -\text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha \)

Шаг 2: Применим основные тригонометрические тождества.

• Произведение тангенса и котангенса одного угла равно единице: \( \text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha = 1 \) (при \( \alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \)).

• Основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \).

Подставим тождества:

\( -\text{tg} \alpha \text{ctg} \alpha + \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = -1 + 1 \)

Шаг 3: Вычислим сумму.

\( -1 + 1 = 0 \)

Ответ: \( 0 \).