ГДЗ: Упражнение 478 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \)

• \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)

Подставим эти выражения в числитель и знаменатель:

Числитель: \( \sin^3(-\alpha) + \cos^3(-\alpha) = (-\sin \alpha)^3 + (\cos \alpha)^3 = -\sin^3 \alpha + \cos^3 \alpha \)

Знаменатель: \( 1 - \sin(-\alpha) \cos(-\alpha) = 1 - (-\sin \alpha)(\cos \alpha) = 1 + \sin \alpha \cos \alpha \)

Дробь принимает вид: \( \frac{\cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} \)

Шаг 2: Разложим числитель по формуле разности кубов.

Используем формулу \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \), где \( a = \cos \alpha \), \( b = \sin \alpha \):

Числитель: \( \cos^3 \alpha - \sin^3 \alpha = (\cos \alpha - \sin \alpha)(\cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha + \sin^2 \alpha) \)

Шаг 3: Упростим числитель с помощью основного тригонометрического тождества.

Воспользуемся \( \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 \):

Числитель: \( (\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha) \)

Шаг 4: Сократим дробь.

Подставим упрощённый числитель в дробь:

\( \frac{(\cos \alpha - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha \cos \alpha)}{1 + \sin \alpha \cos \alpha} \)

Сократим на \( (1 + \sin \alpha \cos \alpha) \) (при условии, что \( 1 + \sin \alpha \cos \alpha \neq 0 \)):

\( \cos \alpha - \sin \alpha \)

Ответ: \( \cos \alpha - \sin \alpha \).

Шаг 1: Применим формулы для функций отрицательного угла.

• \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \)

• \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \)

Подставим эти выражения в исходное:

\( \frac{1 - (\sin \alpha + \cos(-\alpha))^2}{-\sin(-\alpha)} = \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{- (-\sin \alpha)} = \frac{1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha} \)

Шаг 2: Раскроем квадрат суммы в числителе.

Используем формулу \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \):

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha \)

Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\( (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \)

Шаг 3: Упростим числитель.

Числитель: \( 1 - (1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 - 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = -2 \sin \alpha \cos \alpha \)

Шаг 4: Сократим дробь.

Подставим упрощённый числитель в дробь:

\( \frac{-2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Сократим на \( \sin \alpha \) (при условии, что \( \sin \alpha \neq 0 \)):

\( -2 \cos \alpha \)

Ответ: \( -2 \cos \alpha \).

Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции отрицательного угла через тригонометрические функции положительного угла. Косинус является чётной функцией, а синус, тангенс и котангенс — нечётными.

Формулы, непосредственно вытекающие из определения чётности/нечётности функций, которые используются для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных углов.

Значения тригонометрических функций для основных углов в радианах, которые используются при вычислениях.