ГДЗ: Упражнение 479 - § 27 (Синус, косинус и тангенс углов) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1: Упростим левую часть (ЛЧ), используя формулы приведения и формулы для функций отрицательного угла.

• \( \sin (6\pi - \alpha) \). Поскольку \( 6\pi \) — это целое чётное число периодов синуса, то \( \sin (6\pi - \alpha) = \sin (-\alpha) \). Далее, \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \).

• \( 1 + \text{ctg}^2(-\alpha) \). Котангенс — нечётная функция: \( \text{ctg}(-\alpha) = -\text{ctg} \alpha \). Возведение в квадрат: \( \text{ctg}^2(-\alpha) = \text{ctg}^2 \alpha \). По основному тождеству: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).

• \( 1 - \sin^2(-\alpha) \). Синус — нечётная функция: \( \sin(-\alpha) = -\sin \alpha \). Возведение в квадрат: \( \sin^2(-\alpha) = \sin^2 \alpha \). По основному тождеству: \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \).

• \( \text{ctg}(\alpha - 2\pi) \). Котангенс имеет период \( \pi \). Поскольку \( 2\pi \) — это целое число периодов, то \( \text{ctg}(\alpha - 2\pi) = \text{ctg} \alpha \).

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в ЛЧ.

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} \)

Шаг 3: Дальнейшее упрощение числителя и знаменателя.

Числитель: \( \frac{-\cos \alpha \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} \)

Сократим \( \sin \alpha \) (при \( \sin \alpha \neq 0 \)): \( -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = -\text{ctg} \alpha \)

Знаменатель: \( \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha \). Используем \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \):

Знаменатель: \( \cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha} \)

Подставим обратно в дробь:

ЛЧ: \( \frac{-\text{ctg} \alpha}{\frac{\cos^3 \alpha}{\sin \alpha}} \)

Шаг 4: Выполним деление и окончательное упрощение (заменим \( \text{ctg} \alpha \) на \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \) в числителе).

ЛЧ: \( -\text{ctg} \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} \)

Сократим \( \cos \alpha \) и \( \sin \alpha \):

ЛЧ: \( -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Внимание: в условии, скорее всего, опечатка, так как при подстановке получается \( -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \), что не равно \( \text{ctg} \alpha \). Предположим, что в знаменателе должно быть \( 1 - \cos^2(-\alpha) \) или другой вариант, приводящий к тождеству.

Проверим, если в знаменателе: \( 1 - \cos^2(-\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha - 2\pi) \).

• \( 1 - \cos^2(-\alpha) = 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)

• \( \text{ctg}(\alpha - 2\pi) = \text{ctg} \alpha \)

Знаменатель: \( \sin^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha \)

ЛЧ: \( \frac{-\text{ctg} \alpha}{\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} \)

Сократим \( \text{ctg} \alpha \) (при \( \text{ctg} \alpha \neq 0 \)):

ЛЧ: \( -\frac{1}{\sin^2 \alpha} \). Это тоже не равно \( \text{ctg} \alpha \).

Вернёмся к исходному знаменателю и предположим, что в числителе нет \( 6\pi \) и нет \( -\alpha \) в \( \cos \) или \( \sin \).

Если числитель: \( \cos \alpha \sin (\alpha) \cdot (1 + \text{ctg}^2\alpha) \) и знаменатель \( \sin^2\alpha \cdot \text{ctg} \alpha \) (т.е. \( -\alpha \) в синусе не было и \( -\alpha \) в котангенсе тоже).

Числитель: \( \cos \alpha \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha \)

Знаменатель: \( \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha \cos \alpha \)

ЛЧ: \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \). Это опять не равно \( \text{ctg} \alpha \).

Считаем по условию, но с учетом, что в условии опечатка и ЛЧ должна быть равна \( -\text{ctg} \alpha \).

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{-\text{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Признаем, что тождество в том виде, в котором оно записано, неверно. Но, следуя логике упрощения, получим:

\( \frac{\cos \alpha \sin (6\pi - \alpha) \cdot (1 + \text{ctg}^2(-\alpha))}{1 - \sin^2(-\alpha) \cdot \text{ctg}(\alpha - 2\pi)} = \frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Поскольку требуется доказать тождество, и оно не сходится, будем считать, что должно быть \( \cos^2 \alpha \cdot \text{tg} \alpha \) в знаменателе, а не \( \cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha \).

Рассмотрим, что ЛЧ \( = \text{ctg} \alpha \) при условии, что:

Знаменатель: \( \cos^2 \alpha \cdot \text{tg} \alpha \)

ЛЧ: \( \frac{-\text{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \text{tg} \alpha} = \frac{-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}} = \frac{-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{1}{\sin^2 \alpha} \)

Так как ответ должен быть \( \text{ctg} \alpha \), предположим, что опечатка в числителе: \( \sin(-\alpha) \) должно быть \( \sin(\alpha) \).

Если \( \sin(6\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (так было бы, если бы было \( \sin \alpha \)), то

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \cdot \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} \)

ЛЧ: \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). И снова не \( \text{ctg} \alpha \).

Наиболее вероятная опечатка, которая дает \( \text{ctg} \alpha \):

• Числитель: \( \cos \alpha \sin \alpha \cdot (1 + \text{ctg}^2\alpha) = \cos \alpha \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha \)

• Знаменатель: \( 1 \) (чтобы ЛЧ = \( \text{ctg} \alpha \))

Мы будем решать, предполагая, что тождество в учебнике верно, и опечатка в знаке приведения синуса. Предположим, что \( \sin (6\pi - \alpha) = \sin \alpha \) (хотя это неверно), чтобы получить ответ \( \text{ctg} \alpha \).

• \( \cos \alpha \sin (6\pi - \alpha) \approx \cos \alpha \sin \alpha \) (Предположение о неверном знаке)

• \( 1 + \text{ctg}^2(-\alpha) = 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \)

• \( 1 - \sin^2(-\alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \)

• \( \text{ctg}(\alpha - 2\pi) = \text{ctg} \alpha \)

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} \)

ЛЧ: \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \). Тождество всё равно не сходится.

Считаем строго по условию и правилам, и в конце делаем вывод о неверности тождества.

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

Так как \( -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \neq \text{ctg} \alpha \), тождество неверно.

Мы вынуждены предположить, что в условии была опечатка, и выражение должно было упрощаться до \( \text{ctg} \alpha \). Чаще всего в подобных тождествах опечатка в знаке или показателе степени. Если бы в числителе было \( \cos \alpha \sin \alpha (1 + \text{tg}^2 \alpha) \):

\( \cos \alpha \sin \alpha \frac{1}{\cos^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \text{tg} \alpha \)

Рассматриваем тождество, которое сходится. Это возможно, если в числителе нет \( -\alpha \) и \( 6\pi \), а в знаменателе \( 1 - \cos^2(-\alpha) \).

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{\sin^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\text{ctg} \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} \neq \text{ctg} \alpha \)

Вывод: Указанное тождество в том виде, в котором оно записано, не является верным. Мы представим решение, исходя из строгого следования формулам.

ЛЧ = \( \frac{\cos \alpha \cdot (-\sin \alpha) \cdot \frac{1}{\sin^2 \alpha}}{(1 - \sin^2 \alpha) \cdot \text{ctg} \alpha} = \frac{-\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}}{\cos^2 \alpha \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}} = \frac{-\text{ctg} \alpha}{\cos^2 \alpha \cdot \text{ctg} \alpha} = -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \)

ПЧ = \( \text{ctg} \alpha \)

Так как \( -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \neq \text{ctg} \alpha \), тождество неверно.

Ответ: Тождество неверно, так как ЛЧ \( = -\frac{1}{\cos^2 \alpha} \) и ПЧ \( = \text{ctg} \alpha \).

Шаг 1: Упростим левую часть (ЛЧ), используя формулы приведения и формулы для функций отрицательного угла.

• \( \cos(4\pi - \alpha) \). Косинус имеет период \( 2\pi \). \( 4\pi \) — это два периода. Следовательно, \( \cos(4\pi - \alpha) = \cos (-\alpha) \). Косинус — чётная функция: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \).

• \( 1 - \cos^2(-\alpha) \). Косинус — чётная функция: \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \). Значит, \( 1 - \cos^2(-\alpha) = 1 - \cos^2 \alpha \). По основному тригонометрическому тождеству: \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \).

Шаг 2: Подставим упрощенные выражения в ЛЧ.

ЛЧ: \( \frac{\cos(4\pi - \alpha)}{1 - \cos^2(-\alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \)

Шаг 3: Преобразуем ЛЧ, чтобы выделить \( \text{ctg} \alpha \).

\( \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha \cdot \sin \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{1}{\sin \alpha} \)

Используем определение котангенса: \( \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \text{ctg} \alpha \):

ЛЧ: \( \text{ctg} \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha} = \frac{\text{ctg} \alpha}{\sin \alpha} \)

Шаг 4: Сравним ЛЧ и правую часть (ПЧ).

ЛЧ: \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\sin \alpha} \)

ПЧ: \( \text{ctg} \alpha \)

Так как \( \frac{\text{ctg} \alpha}{\sin \alpha} \neq \text{ctg} \alpha \) (при \( \sin \alpha \neq 1 \) и \( \sin \alpha \neq -1 \)), тождество неверно.

Предположим, что в числителе была опечатка и должно быть \( \cos \alpha \sin \alpha \) или что-то подобное. Наиболее вероятная опечатка, которая дает \( \text{ctg} \alpha \) - это ошибка в числителе и знаменателе.

Тождество, которое могло быть задумано: \( \frac{\cos \alpha \cdot \sin \alpha}{1 - \cos^2(-\alpha)} = \text{ctg} \alpha \) (но здесь ЛЧ \( = \text{ctg} \alpha \cos \alpha \)).

Заключение: Тождество неверно. Мы представляем решение, исходя из строгого следования формулам.

ЛЧ: \( \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \)

ПЧ: \( \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \)

Так как \( \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \neq \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \), тождество неверно.

Ответ: Тождество неверно, так как ЛЧ \( = \frac{\cos \alpha}{\sin^2 \alpha} \) и ПЧ \( = \text{ctg} \alpha \).

Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции отрицательного угла через тригонометрические функции положительного угла. Косинус является чётной функцией, а синус, тангенс и котангенс — нечётными.

Формулы, непосредственно вытекающие из определения чётности/нечётности функций, которые используются для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных углов.

Значения тригонометрических функций для основных углов в радианах, которые используются при вычислениях.