Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 44 / Задание 786

ГДЗ: Упражнение 786 - § 44 (Производная и её геометрический смысл) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 229, 235
Глава: Глава 8
Параграф: § 44 - Производная и её геометрический смысл
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

786 упражнение:

Используя определение предела функции в точке, выяснить, является ли верным равенство:

1) \( \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3 \);

Пояснение: Для многочлена \( f(x) = 2x + 1 \) предел при \( x \to 1 \) равен значению функции в этой точке, то есть \( f(1) \).

  • Шаг 1: Вычислим значение функции в точке \( x=1 \):
    • \( 2 \cdot 1 + 1 = 2 + 1 = 3 \).
  • Шаг 2: Сравним с заявленным значением предела:
    • Полученное значение предела: 3.
    • Заявленное значение предела: 3.
    • \( 3 = 3 \), равенство верно.

Ответ: Равенство \( \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 3 \) является верным.

2) \( \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \).

Пояснение: Для многочлена \( f(x) = x^2 \) предел при \( x \to 2 \) равен значению функции в этой точке, то есть \( f(2) \).

  • Шаг 1: Вычислим значение функции в точке \( x=2 \):
    • \( 2^2 = 4 \).
  • Шаг 2: Сравним с заявленным значением предела:
    • Полученное значение предела: 4.
    • Заявленное значение предела: 4.
    • \( 4 = 4 \), равенство верно.

Ответ: Равенство \( \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \) является верным.

Что применять при решении

Средняя скорость движения
Средняя скорость движения материальной точки на отрезке времени от \( t_1 \) до \( t_2 \) равна отношению изменения пути \( \Delta s = s(t_2) - s(t_1) \) к промежутку времени \( \Delta t = t_2 - t_1 \).
\( v_{\text{ср}} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_2) - s(t_1)}{t_2 - t_1} \)
Мгновенная скорость движения
Мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени \( t \) равна производной от закона движения \( s(t) \) по времени.
\( v(t) = s'(t) \)
Производная степенной функции
Производная функции вида \( f(x) = x^n \) (где \( n \) — постоянная) равна \( n x^{n-1} \).
\( (x^n)' = n x^{n-1} \)
Производная постоянной
Производная постоянной величины \( C \) равна нулю.
\( (C)' = 0 \)
Правило дифференцирования суммы и разности функций
Производная суммы (или разности) функций равна сумме (или разности) их производных.
\( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
Правило вынесения постоянного множителя
Постоянный множитель \( k \) можно вынести за знак производной.
\( (k f(x))' = k f'(x) \)
Производная линейной функции (частный случай)
Производная линейной функции вида \( (kx + b) \), где \( k \) и \( b \) — постоянные, равна \( k \).
\( (kx + b)' = k \)
Определение предела функции
Предел функции \( f(x) \) при \( x \to a \) — это значение, к которому стремится \( f(x) \) при стремлении \( x \) к \( a \). Для многочленов и рациональных функций (в точках, где знаменатель не равен нулю) предел равен значению функции в этой точке.
\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 44

776 777 778 779 780 781 782 783 784 785 786
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.