Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 2 / Задание 11

ГДЗ: Упражнение 11 - § 2 (Действительные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 7, 8, 9, 10
Глава: Глава 1
Параграф: § 2 - Действительные числа
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

11 упражнение:

Сравнить числовые значения выражений:

1) \( \sqrt{3,9} + \sqrt{8} \) и \( \sqrt{1,1} + \sqrt{17} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Сравнение квадратов.
    Сравним квадраты выражений \( A = \sqrt{3,9} + \sqrt{8} \) и \( B = \sqrt{1,1} + \sqrt{17} \).
    \( A^2 = 3,9 + 8 + 2\sqrt{3,9 \cdot 8} = 11,9 + 2\sqrt{31,2} \)
    \( B^2 = 1,1 + 17 + 2\sqrt{1,1 \cdot 17} = 18,1 + 2\sqrt{18,7} \)
  • Шаг 2: Приближенная оценка.
    Сравним рациональные части: \( 11,9 < 18,1 \).
    Сравним иррациональные части: \( 2\sqrt{31,2} \) и \( 2\sqrt{18,7} \).
    Так как \( 31,2 > 18,7 \), то \( 2\sqrt{31,2} > 2\sqrt{18,7} \).
    Поскольку приближенная оценка показала, что \( 11,9 + 2\sqrt{31,2} \approx 23,1 \) и \( 18,1 + 2\sqrt{18,7} \approx 26,7 \), то **\( A^2 < B^2 \)**.
  • Вывод: Так как оба выражения положительны, **\( \sqrt{3,9} + \sqrt{8} < \sqrt{1,1} + \sqrt{17} \)**.

Ответ: \( \sqrt{3,9} + \sqrt{8} < \sqrt{1,1} + \sqrt{17} \).

2) \( 2\sqrt{11} - \sqrt{2,1} \) и \( \sqrt{10} - \sqrt{3,1} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Перенос слагаемых.
    Перенесем отрицательные слагаемые: сравним \( 2\sqrt{11} + \sqrt{3,1} \) и \( \sqrt{10} + \sqrt{2,1} \).
    Пусть \( C = 2\sqrt{11} + \sqrt{3,1} \) и \( D = \sqrt{10} + \sqrt{2,1} \).
  • Шаг 2: Сравнение квадратов.
    \( C^2 = (2\sqrt{11})^2 + (\sqrt{3,1})^2 + 4\sqrt{11 \cdot 3,1} = 44 + 3,1 + 4\sqrt{34,1} = 47,1 + 4\sqrt{34,1} \)
    \( D^2 = (\sqrt{10})^2 + (\sqrt{2,1})^2 + 2\sqrt{10 \cdot 2,1} = 10 + 2,1 + 2\sqrt{21} = 12,1 + 2\sqrt{21} \)
  • Шаг 3: Приближенная оценка.
    Оценим слагаемые: \( 47,1 > 12,1 \).
    Также \( 4\sqrt{34,1} \approx 4 \cdot 5,84 = 23,36 \).
    А \( 2\sqrt{21} \approx 2 \cdot 4,58 = 9,16 \).
    \( C^2 \approx 47,1 + 23,36 = 70,46 \).
    \( D^2 \approx 12,1 + 9,16 = 21,26 \).
    Очевидно, **\( C^2 > D^2 \)**.
  • Вывод: Так как оба выражения положительны, \( C > D \). Следовательно, **\( 2\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - \sqrt{3,1} \)**.

Ответ: \( 2\sqrt{11} - \sqrt{2,1} > \sqrt{10} - \sqrt{3,1} \).

Что применять при решении

Иррациональное число
Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. К иррациональным числам относятся, например, \( \sqrt{2} \), \( \pi \).
Действительное число
Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Множество всех действительных чисел обозначается \( R \).
Модуль действительного числа
Модуль действительного числа \( x \) обозначается \( |x| \) и определяется как:
\( |x| = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0. \end{cases} \)
Свойства корней (радикалов)
Для неотрицательных чисел \( a \) и \( b \) верны следующие свойства:
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (при \( b \neq 0 \)).
Упрощение подкоренных выражений
Выражение вида \( a \pm \sqrt{b} \) иногда можно представить как квадрат суммы или разности, используя формулу: \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), где \( x+y=A \) и \( x \cdot y=B \).
\( a \pm 2\sqrt{b} = (\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 2

6 7 8 9 10 11 12
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.