Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 2 / Задание 9

ГДЗ: Упражнение 9 - § 2 (Действительные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 7, 8, 9, 10
Глава: Глава 1
Параграф: § 2 - Действительные числа
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

9 упражнение:

Выяснить, каким числом (рациональным или иррациональным) является числовое значение выражения:

1) \( (\sqrt{8} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение и перегруппировка.
    \( \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} \).
    Выражение: \( (2\sqrt{2} - 3)(3 + 2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2} - 3)(2\sqrt{2} + 3) \).
  • Шаг 2: Применение формулы разности квадратов.
    \( (2\sqrt{2})^2 - 3^2 = (4 \cdot 2) - 9 = 8 - 9 = -1 \).
  • Вывод: Результат **\(-1\)** является целым числом, а значит, **рациональным**.

Ответ: Рациональное число (равно \( -1 \)).

2) \( (\sqrt{27} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение и перегруппировка.
    \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).
    Выражение: \( (3\sqrt{3} - 2)(2 - 3\sqrt{3}) \).
    Заметим, что \( 2 - 3\sqrt{3} = -(3\sqrt{3} - 2) \).
  • Шаг 2: Вычисление.
    \( (3\sqrt{3} - 2) \cdot [-(3\sqrt{3} - 2)] = - (3\sqrt{3} - 2)^2 \).
    Раскроем квадрат: \( - [(9 \cdot 3) - 12\sqrt{3} + 4] = - [ 31 - 12\sqrt{3} ] = 12\sqrt{3} - 31 \).
  • Вывод: Выражение содержит иррациональную часть \( 12\sqrt{3} \). Результат является **иррациональным** числом.

Ответ: Иррациональное число.

3) \( (\sqrt{50} + 4\sqrt{2})\sqrt{2} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение скобок.
    \( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \).
    Сложение в скобках: \( (5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}) = 9\sqrt{2} \).
  • Шаг 2: Вычисление.
    \( 9\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 9 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \).
  • Вывод: Результат **\( 18 \)** является целым числом, а значит, **рациональным**.

Ответ: Рациональное число (равно \( 18 \)).

4) \( (5\sqrt{3} + \sqrt{27}) : \sqrt{3} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение скобок.
    \( \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \).
    Сложение в скобках: \( (5\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3} \).
  • Шаг 2: Вычисление.
    \( 8\sqrt{3} : \sqrt{3} = 8 \).
  • Вывод: Результат **\( 8 \)** является целым числом, а значит, **рациональным**.

Ответ: Рациональное число (равно \( 8 \)).

5) \( (\sqrt{3} - 1)^2 + (\sqrt{3} + 1)^2 \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Раскрытие скобок.
    \( (\sqrt{3} - 1)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} \).
    \( (\sqrt{3} + 1)^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3} \).
  • Шаг 2: Сложение.
    \( (4 - 2\sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) = 4 + 4 + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 8 \).
  • Вывод: Результат **\( 8 \)** является целым числом, а значит, **рациональным**.

Ответ: Рациональное число (равно \( 8 \)).

6) \( (\sqrt{5} - 1)^2 - (2\sqrt{5} + 1)^2 \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Раскрытие скобок.
    Первая скобка: \( (\sqrt{5} - 1)^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5} \).
    Вторая скобка: \( (2\sqrt{5} + 1)^2 = 4 \cdot 5 + 4\sqrt{5} + 1 = 21 + 4\sqrt{5} \).
  • Шаг 2: Вычитание.
    \( (6 - 2\sqrt{5}) - (21 + 4\sqrt{5}) = 6 - 2\sqrt{5} - 21 - 4\sqrt{5} \).
  • Шаг 3: Приведение подобных слагаемых.
    \( (6 - 21) + (-2\sqrt{5} - 4\sqrt{5}) = -15 - 6\sqrt{5} \).
  • Вывод: Выражение содержит иррациональную часть \( -6\sqrt{5} \). Результат является **иррациональным** числом.

Ответ: Иррациональное число.

Что применять при решении

Иррациональное число
Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. К иррациональным числам относятся, например, \( \sqrt{2} \), \( \pi \).
Действительное число
Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Множество всех действительных чисел обозначается \( R \).
Модуль действительного числа
Модуль действительного числа \( x \) обозначается \( |x| \) и определяется как:
\( |x| = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0. \end{cases} \)
Свойства корней (радикалов)
Для неотрицательных чисел \( a \) и \( b \) верны следующие свойства:
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (при \( b \neq 0 \)).
Упрощение подкоренных выражений
Выражение вида \( a \pm \sqrt{b} \) иногда можно представить как квадрат суммы или разности, используя формулу: \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), где \( x+y=A \) и \( x \cdot y=B \).
\( a \pm 2\sqrt{b} = (\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 2

6 7 8 9 10 11 12
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.