Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 2 / Задание 12

ГДЗ: Упражнение 12 - § 2 (Действительные числа) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 7, 8, 9, 10
Глава: Глава 1
Параграф: § 2 - Действительные числа
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

12 упражнение:

Вычислить:

1) \( \sqrt{\left(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}} + \sqrt{2}\right) \cdot 2\sqrt{5}} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение внутреннего корня.
    Представим подкоренное выражение \( 7 - 2\sqrt{10} \) как квадрат разности \( (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \).
    Ищем \( a+b=7 \) и \( a \cdot b=10 \). Это числа 5 и 2.
    \( 7 - 2\sqrt{10} = (\sqrt{5} - \sqrt{2})^2 \).
  • Шаг 2: Извлечение внутреннего корня.
    \( \sqrt{7 - 2\sqrt{10}} = \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{2})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{2}| \).
    Так как \( \sqrt{5} > \sqrt{2} \), то \( |\sqrt{5} - \sqrt{2}| = \sqrt{5} - \sqrt{2} \).
  • Шаг 3: Упрощение выражения в скобках.
    \( (\sqrt{5} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = \sqrt{5} \).
  • Шаг 4: Упрощение под внешним корнем.
    Подкоренное выражение: \( \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 2 \cdot 5 = 10 \).
  • Шаг 5: Вычисление.
    Исходное выражение равно: \( \sqrt{10} \).

Ответ: \( \sqrt{10} \).

2) \( \sqrt{(\sqrt{16 - 6\sqrt{7}} + \sqrt{7}) \cdot 3} \)

Развернутое решение:

  • Шаг 1: Упрощение внутреннего корня.
    Представим \( 16 - 6\sqrt{7} \) в виде \( (a - b)^2 \). Для этого преобразуем \( 6\sqrt{7} \) к виду \( 2\sqrt{B} \):
    \( 6\sqrt{7} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} = 2\sqrt{3^2 \cdot 7} = 2\sqrt{63} \).
    Теперь ищем \( a+b=16 \) и \( a \cdot b=63 \). Это числа 9 и 7.
    \( 16 - 6\sqrt{7} = 9 + 7 - 2\sqrt{63} = (\sqrt{9} - \sqrt{7})^2 = (3 - \sqrt{7})^2 \).
  • Шаг 2: Извлечение внутреннего корня.
    \( \sqrt{16 - 6\sqrt{7}} = \sqrt{(3 - \sqrt{7})^2} = |3 - \sqrt{7}| \).
    Так как \( 3 = \sqrt{9} \) и \( \sqrt{9} > \sqrt{7} \), то \( |3 - \sqrt{7}| = 3 - \sqrt{7} \).
  • Шаг 3: Упрощение выражения в скобках.
    \( (3 - \sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3 \).
  • Шаг 4: Упрощение под внешним корнем.
    Подкоренное выражение: \( 3 \cdot 3 = 9 \).
  • Шаг 5: Вычисление.
    Исходное выражение равно: \( \sqrt{9} = 3 \).

Ответ: \( 3 \).

Что применять при решении

Иррациональное число
Иррациональное число — это бесконечная непериодическая десятичная дробь. К иррациональным числам относятся, например, \( \sqrt{2} \), \( \pi \).
Действительное число
Действительное число — это бесконечная десятичная дробь. Множество всех действительных чисел обозначается \( R \).
Модуль действительного числа
Модуль действительного числа \( x \) обозначается \( |x| \) и определяется как:
\( |x| = \begin{cases} x, \text{ если } x \ge 0, \\ -x, \text{ если } x < 0. \end{cases} \)
Свойства корней (радикалов)
Для неотрицательных чисел \( a \) и \( b \) верны следующие свойства:
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \) и \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (при \( b \neq 0 \)).
Упрощение подкоренных выражений
Выражение вида \( a \pm \sqrt{b} \) иногда можно представить как квадрат суммы или разности, используя формулу: \( \sqrt{A \pm 2\sqrt{B}} = \sqrt{x} \pm \sqrt{y} \), где \( x+y=A \) и \( x \cdot y=B \).
\( a \pm 2\sqrt{b} = (\sqrt{x} \pm \sqrt{y})^2 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 2

6 7 8 9 10 11 12
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.