ГДЗ: Упражнение 1026 - § 59 (Применение производной и интеграла к решению практических задач) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Шаг 1. Нахождение времени остановки.

Тело останавливается, когда его скорость равна нулю: \( v(t) = 0 \).

\( 4t - t^2 = 0 \)

Выносим \( t \) за скобки:

\( t(4 - t) = 0 \)

Получаем два момента времени:

\( t_1 = 0 \) (начало движения) и \( t_2 = 4 \) (остановка).

Путь нужно вычислить от начала движения \( t_1 = 0 \) до остановки \( t_2 = 4 \).

Шаг 2. Использование формулы пути.

Путь \( S \) определяется интегралом скорости за промежуток времени \( [0, 4] \):

\( S = \int_{0}^{4} v(t) \,dt = \int_{0}^{4} (4t - t^2) \,dt \)

Шаг 3. Вычисление неопределённого интеграла (первообразной).

Найдём первообразную \( F(t) \) для \( v(t) = 4t - t^2 \):

\( F(t) = \int (4t - t^2) \,dt = 4 \cdot \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} = 2t^2 - \frac{t^3}{3} \)

Шаг 4. Применение формулы Ньютона-Лейбница.

\( S = F(t)\big|_0^4 = F(4) - F(0) \)

\n
• Вычисляем \( F(4) \): \( F(4) = 2 \cdot 4^2 - \frac{4^3}{3} = 2 \cdot 16 - \frac{64}{3} = 32 - \frac{64}{3} \)
\n
• Вычисляем \( F(0) \): \( F(0) = 2 \cdot 0^2 - \frac{0^3}{3} = 0 \)
\n

Вычисляем путь \( S \):

\( S = 32 - \frac{64}{3} = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3} \)

\( S = 10\frac{2}{3} \) (м)

Ответ: \( 10\frac{2}{3} \) м.