Нейросеть

Главная / Учебники / Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы / § 59 / Задание 1031

ГДЗ: Упражнение 1031 - § 59 (Применение производной и интеграла к решению практических задач) - (Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы, Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна)

Страницы: 309, 314
Глава: Глава 10
Параграф: § 59 - Применение производной и интеграла к решению практических задач
Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы -
Автор: Алимов Шавкат Арифджанович, Колягин Юрий Михайлович, Ткачева Мария Владимировна
Год: 2025
Издание:

1031 упражнение:

Вычислить работу, которую нужно затратить при сжатии пружины на 3 см, если сила в 2 Н сжимает эту пружину на 1 см.

1)

Шаг 1. Перевод единиц измерения в СИ.

\n
    \n
  • Сжатие в первом случае: \( x_1 = 1 \) см \( = 0.01 \) м.
    • \n
  • Сила: \( F_1 = 2 \) Н.
    • \n
  • Сжатие, для которого ищется работа: \( x_2 = 3 \) см \( = 0.03 \) м.
    • \n
\n

Шаг 2. Определение коэффициента жёсткости \( k \) (Закон Гука).

\n

Согласно Закону Гука, \( F = k x \). Используем данные первого случая:

\n

\( 2 \text{ Н} = k \cdot 0.01 \text{ м} \)

\n

\( k = \frac{2 \text{ Н}}{0.01 \text{ м}} = 200 \) Н/м.

\n

Шаг 3. Вычисление работы \( A \).

\n

Работа \( A \) при сжатии пружины на длину \( x \) вычисляется по формуле \( A = \frac{k x^2}{2} \). Используем \( x_2 = 0.03 \) м и \( k = 200 \) Н/м:

\n

\( A = \frac{200 \text{ Н/м} \cdot (0.03 \text{ м})^2}{2} \)

\n

\( A = 100 \text{ Н/м} \cdot (0.0009 \text{ м}^2) \)

\n

\( A = 0.09 \) Дж.

\n

Ответ: Работа составляет \( 0.09 \) Дж.

Что применять при решении

Формула пути (перемещения) через интеграл
Путь S, пройденный телом за промежуток времени от t₁ до t₂, если задана функция скорости v(t), находится как определённый интеграл от функции скорости.
\( S = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \,dt \)
Решение простейшего дифференциального уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение вида y' = f(x) решается интегрированием обеих частей. Общее решение y = ∫ f(x) dx + C. Для частного решения константа C находится из начальных условий y(x₀) = y₀.
\( y = \int f(x) \, dx + C \)
Закон Гука
Сила F, необходимая для растяжения/сжатия пружины на длину x, пропорциональна этой длине, где k — коэффициент жёсткости пружины.
\( F = k x \)
Формула для работы при растяжении/сжатии пружины
Работа A, затраченная для растяжения или сжатия пружины на длину x от нерастянутого состояния, определяется формулой, где k — коэффициент жёсткости пружины.
\( A = \frac{k x^2}{2} \)
Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
Уравнение второго порядка, описывающее гармонические колебания. Проверить решение можно, подставив функцию и её вторую производную.
\( y'' + \omega^2 y = 0 \)

Задали создать проект?

Создай с помощью ИИ за 5 минут

До 90% уникальность
Готовый файл Word
15-30 страниц
Список источников по ГОСТ
Оформление по ГОСТ
Таблицы и схемы

Другие упражнения из параграфа § 59

1025 1026 1027 1028 1029 1030 1031 1032
Уведомление об авторском праве и цитировании

ВНИМАНИЕ: Представленные фрагменты из учебных материалов используются исключительно в научно-образовательных целях в объеме, оправданном поставленной целью.

Данное использование осуществляется в рамках, установленных законодательством об авторском праве (в частности, нормами о свободном использовании произведения для образовательных целей).

В соответствии с законодательством, автор и источник заимствования указаны для каждого используемого фрагмента.